III OMG II ETAP

[binaj]

1. Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają warunek:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}= \sqrt{ab+3}}\)
Wykaż, ze co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest niewymierna

2. W każde pole tablicy o wymiarach \(\displaystyle{ 4}\) na \(\displaystyle{ 4}\) wpisano liczbę \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\). Następnie obliczono sumy liczb stojących w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na obu przekątnych. Wykaż,ze co najmniej trzy sumy są jednakowe.

3.Punkt \(\displaystyle{ S}\) leży wewnątrz sześciokąta foremnego ABCDEF. Udowodnij, ze suma pól trójkątów
\(\displaystyle{ ABS}\), \(\displaystyle{ CDS}\), \(\displaystyle{ EFS}\) jest równa połowie pola sześciokąta ABCDEF.

4. Czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\), dla której liczbę \(\displaystyle{ 2^{n}}\)
można przedstawić w postaci co najmniej dwóch kolejnych dodatnich liczb całkowitych? Odpowiedź uzasadnij.

5. Czy można przeciąć sześcian płaskim cięciem na dwie bryły o równych objętościach, aby w przekroju otrzymać pięciokąt? Odpowiedź uzasadnij.


myślę,ze zadania łatwiejsze niż rok temu, na ile punktów liczycie?

[wm155]

ehh, ja sie nie wypowiadam w sprawie liczby punktow, bo jestem na siebie zly. Moglem napisać lepiej ;/

[Sylwek]

Pokrótce:

1. Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ a q b}\). Obie strony są dodatnie, także możemy bezkarnie podnieść je do kwadratu:
\(\displaystyle{ a+b=2\sqrt{ab+3}\\ a^2+2ab+b^2=4ab+12 \\ a^2-2ab+b^2=12 \\ (a-b)^2=12 \\ |a-b|=2\sqrt{3} \\ a-b=2\sqrt{3}}\)
Różnica dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną, toteż przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest niewymierna.

2. Jest razem 10 sum. Dowód nie wprost: Jeśli to by była nieprawda, to każda suma (0, 1, 2, 3, 4) wystąpiłaby dwa razy. Czyli dwa razy musiałaby wystąpić suma 0. Jeśli przynajmniej raz wystąpiłaby na przekątnej - wyklucza to wystąpienie 2 razy sumy 4. Jeśli wystąpiłaby raz w wierszu, a raz w kolumnie - wyklucza to wystąpienie 2 razy sumy 4. Czyli musi wystąpić 2 razy w kolumnie lub w wierszu. Bez straty ogólności ze względu na jednakową ilość kolumn i wierszy - przyjmijmy, że suma 0 występuje 2 razy w kolumnie. Suma 4 też musi w takim razie wystąpić 2 razy w kolumnie. Ale z tego wynika, że suma liczb stojących w każdym z wierszy wynosi 2, co ukazuje sprzeczność założenia, że teza zadania jest nieprawdziwa.

3. Jak się poprowadzi proste równoległe do boków tego sześciokąta przechodzące przez punkt S to ładnie wyjdzie, że suma wysokości tych trzech trójkątów jest równa sumie wysokości trzech pozostałych trójkątów, potem tylko ładnie zapisać

4. Zapiszmy tą sumę \(\displaystyle{ k}\) liczb naturalnych poczynając od liczby \(\displaystyle{ p}\) jako sumę ciągu arytmetycznego o różnicy 1 i przyrównajmy to do \(\displaystyle{ 2^n}\):
\(\displaystyle{ \frac{p+p+(k-1)}{2}k=2^n \\ (2p+k-1)k=2^{n+1}}\)

Działamy na liczbach naturalnych, toteż z faktu, że po prawej stronie mamy w rozkładzie na liczby pierwsze same dwójki, to po stronie lewej też tak musi być. jeśli k by było parzyste, to suma w nawiasie po lewej stronie byłaby nieparzysta - sprzeczność. Jeśli k jest nieparzyste, to po lewej stronie występuje liczba nieparzysta w rozkładzie na czynniki pierwsze. Jedyny wyjątek stanowi \(\displaystyle{ k=1}\), ale z założenia \(\displaystyle{ k q 2}\), co dowodzi, że nie istnieje całkowita dodatnia liczba \(\displaystyle{ n}\) spełniająca warunki zadania.

5. Łatwo stwierdzić, że ta płaszczyzna przechodzi przez środek symetrii sześcianu, zatem ten środek symetrii sześcianu musi być zarazem środkiem symetrii płaszczyzny. Pięciokąt nie posiada środka symetrii - wnioski oczywiste

[qjon]

zadania dość proste, ale mimo wszystko próg zapewne będzie koło 16 pkt.

[emator1]

ehh, ja sie nie wypowiadam w sprawie liczby punktow, bo jestem na siebie zly. Moglem napisać lepiej ;/

Nie martw się, ja mógłbym powiedzieć dokładnie to samo.

[MatizMac]

wy to sie cieszcie ze w takim mlodym wieku startujecie w olimpiadzie i uczcie sie bo potem bedziecie zalowac

[emator1]

Hehe, bardzo chętnie tylko żeby jeszcze nauczyciele choć trochę chcieli pomóc, zamiast liczyć że wszystkiego sam się nauczysz.

[binaj]

Hehe, bardzo chętnie tylko żeby jeszcze nauczyciele choć trochę chcieli pomóc, zamiast liczyć że wszystkiego sam się nauczysz.

nie martw się, masz jeszcze 1 rok, szkoda, ze taka sytuacja u Ciebie z nauczycielami :/

[emator1]

Eh, no niestety. Ale mam zamiar nadrobić zaległości przez wakacje i za rok będę wymiatać.

[wm155]

emator1: masz nieźle bo jeszcze możesz startować ;]

Ja teraz moge tylko żalować, bo sie zagrzebałem w 3 zadaniu, a 4 które było łatwe zacząłem pisać parę minut przed końcem ;/ i niestety nie zdążyłem zapisać tego o podzielności lewej i prawej strony równania... może ze dwa punkty będzie ;]

[emator1]

Niom, wczoraj tylko jedno zadanie zrobiłem, ale teraz żałuję, w dwóch niemalże rozwiązanie miałem w brudnopisie tylko dopracować i przepisać.

[MatizMac]

nie odkładaj do wakacji bo w wakacje bedziesz myslal ze nadrobisz w roku szkolnym

[emator1]

Teraz też się uczę, tylko po prostu w wakacje będę miał więcej czasu

[binaj]

zakup sobie Witold Bednarek "Konkurs Matematyczny w Gimnazjum Przygotuj się sam!"oraz "Liga Zadaniowa" Z. Bobiński P. Nodzyński M. Uscki, przydadzą sie jak zamierzasz sam ćwiczyć, i co ważne są nie tylko pod konkurs, lecz pod OMG

wracając do zadań:
1. zapomniałem o module, tak to dobrze
2. mam tak jak w rozwiązaniach
3. udowodniłem, lecz nie uzasadniłem,ze \(\displaystyle{ h_{1}+h_{2}+h_{3}=h_{4}+h_{5}+h_{6}}\),
(teraz to wydaje się być banalne)
4. hmm, coś napisałem, rozważyłem ciąg parzystej ilości elementów i nieparzystej, ten z nieparzystą ilością mam dobrze, z parzystą nie jestem pewien, liczę na 2 pkt
5. zauważyłem,ze płaszczyzna musi przechodzić przez środek wnętrza sześcianu, a 2 punkty będące wierzchołkami tego pięciokąta muszą pokryć się z wierzchołkiem sześcianu, więc przekrój będzie czworokątem

ile pkt dalibyście mi za 1,3 i 5?

[emator1]

No właśnie z tych zbiorków się uczę
A o tym module w 1. zadaniu również zapomniałem.