znaleźć wzór funkcji kwadratowej

[mat1989]

Punkty \(\displaystyle{ A=(-2;6)}\) i \(\displaystyle{ B=(8;16)}\) należą do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\). Funkcja f ma dwa miejsca zerowe, a wierzchołek paraboli będącej jej wykresem należy do prostej \(\displaystyle{ y=-2x+2}\). Znajdź wzór tej funkcji.

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(-2)=6 \\ f(8)=16 \\ \frac{-\Delta}{4a}=-2(\frac{-b}{2a})+2 \end{cases}}\)

to będzie dobry sposób rozwiązania?

[escargot]

tak, mi wyszło

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a=\frac{1}{2}\\b=-2\\c=0 \end{array}}\)
to drugie rozwiazanie odpada bo w nim delta jest ujemna

[mat1989]

oki, ale pokaż jak liczyłeś

[escargot]

rozwiązałem układ równań ten co ty napisałeś.

[mat1989]

Funkcja f określona jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=(3m-5)x^2-(2-1)x+0,25(3m-5)}\). Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ m\in R}\), dla których najmniejsza wartość funkcji jest liczbą dodatnią.

\(\displaystyle{ f'(x)=2(3m-5)x-(2m-1)\\f'(x)=0\\x=\frac{(2m-1)}{2(3m-5)}}\)
teraz wstawiamy tego x, do wzoru funkcji f(x) i policzmy najmniejszą wartość tej funkcji i teraz tylko utworzyć nierówność, że ta największa wartość jest większa od 0.

a jak sobie poradzić bez pochodnych?:)

[Mariusz123]

Ja mam pytanie odnośnie 1 zadania : skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ c = 0 ?}\)

[escargot]

rozwiązać układ nierówności:
\(\displaystyle{ \begin{cases}3m-5>0\\\frac{-\Delta}{4a}>0\end{cases}}\)

[ Dodano: 11 Stycznia 2008, 18:53 ]

Ja mam pytanie odnośnie 1 zadania : skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ c = 0 ?}\)

jak obliczysz a i b to wstaw sobie to do równania z początku czyli np. \(\displaystyle{ 4a-2b+c=6}\) z tego sobie policzysz c

[Mariusz123]

W jaki sposób obliczaliście a i b ?

Moja metoda jest siermiężna i chyba nie optymalna

\(\displaystyle{ 6 = 4a-2b +c}\)
\(\displaystyle{ 16 = 64a +8b +c}\)

i z tego wychodzi \(\displaystyle{ 1 = 6a +b}\) czyli \(\displaystyle{ b= 1- 6a}\)

następnie

\(\displaystyle{ \frac{-\Delta}{4a}=-2(\frac{-b}{2a})+2 \end{cases}}\) czyli
\(\displaystyle{ \frac{-(b^2 - 4ac )}{4a}=-2(\frac{-1+6a}{2a})+2 \end{cases}}\)
i jak później mamy \(\displaystyle{ - 36a^2 +28a +4ac = 5}\)
dalej \(\displaystyle{ - 36a^2 +28a -5 = -4ac}\) i \(\displaystyle{ - 36a^2 +28a -5}\) traktuje jako równanie kwadratowe i wychodzi, żę \(\displaystyle{ a = \frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ a= \frac{-5}{18}}\)

chyba to nie jest właściwy sposób rozwiązania , moglibyście przedstawić wasz sposób ?

[escargot]

Zrobiłem to dokładnie tą samą metodą.
Pewnie istnieje jakiś szybszy sposób.
ale to drugie a wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{-5}{18}}\)

[Mariusz123]

ile ci wyszła \(\displaystyle{ {\Delta}}\) ? mi \(\displaystyle{ {\Delta} = 64}\)
i dalej mamy : \(\displaystyle{ a_{1} = \frac{-28-8}{-72} = \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ a_{2} = \frac{-28+8}{-72} = \frac{-5}{18}}\) a dlaczego odrzucamy \(\displaystyle{ a_{2}}\) ?
Skąd wiemy, że ono nie pasuje ?

[mat1989]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja \(\displaystyle{ f(x)=(m^2-1)x^2-2mx+4m+5}\) jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty; 1)}\) i malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (1; +\infty)}\).

wystarczy \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}=1}\) i \(\displaystyle{ a>0}\)?

[escargot]

nie do końca dobrze
w tym przypadku musi być\(\displaystyle{ a}\)

[mat1989]

Wykaż, że jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f(x)x^2+px+q}\) i \(\displaystyle{ g(x)=x^2+qx+p}\), gdzie \(\displaystyle{ p\neq q}\), mają wspólne miejsce zerowe, to \(\displaystyle{ p+q=-1}\).