Dziwny sposób obliczania granicy

[nolsc]

Przeglądając forum zauważyłem dziwny sposób obliczania granicy. Nie wiem czy jest błędny, czy ja po prostu czegoś nie rozumiem. Mianowicie ktoś o nicku max obliczył granicę w taki sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n^{2}} = \lim_{n\to\infty} e^{n^{2}\ln\frac{n + 1}{2n + 1}} = ft[e^{-\infty}\right] = 0}\)

Ale kiedy próbuje zastosować to np do:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\)

to dostaję

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \lim_{n\to\infty}e^{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} = \lim_{n\to\infty}e^{n\ln1} = \lim_{n\to\infty}e^{0} = 1}\)

Chociaż

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \lim_{n\to\infty}e^{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} = \lim_{n\to\infty}e^{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} = \lim_{n\to\infty}e^{\ln e} = e}\)

Gdzie robię błąd? Cos jest nie tak z tym logarytmem.

[Undre]

Mianowicie ktoś o nicku max obliczył granicę w taki sposób

buahaha padłem max legendą

[ Dodano: 10 Stycznia 2008, 13:09 ]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}e^{n\ln1} = \lim_{n\to\infty}e^{0} = 1}\)

zjadłeś n w potędze

offtop : używasz freebsd czy pcbsd ?

[nolsc]

n * ln1 = n * 0 = 0 ?
offtop: FreeBSD

[Undre]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}e^{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} = [e^{ 0} ]}\)



edit : skopałem, nie to skopiowałem z zapisu co chciałem

anyway - nie można sobie w jednym miejscu wyzerować n ( jak w logarytmie ) a w drugim traktować że nadal jest i mnożyć

[nolsc]

Faktycznie, jaki ja głupi jestem Dzięki.

[ Dodano: 11 Stycznia 2008, 18:00 ]

anyway - nie można sobie w jednym miejscu wyzerować n ( jak w logarytmie ) a w drugim traktować że nadal jest i mnożyć

Nie daje mi to spokoju. Nie rozumiem, czemu nie moge sobie np "wyzerowac n". Czy wlasnie nie to gwarantuje mi twierdzenie o arytmetyce ciagow? Na przyklad
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n\left(n+1\right)}+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}+e = 0+e = e}\)

Tutaj skorzystalem z tego, ze \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) = \lim_{n\to\infty}a_{n}+\lim_{n\to\infty}b_{n}}\), gdy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n} = a, \lim_{n\to\infty}b_{n} = b}\)

Wiec z tego wychodzi, ze jesli juz nie mozna "zerowac" to na pewno nie w sytuacjach, w ktorych mozna rozbic ciag na dwa ciagi, oba dazace do granic skonczonych.