szereg pod pierwiastkiem

[Triton]

Mam obliczyć zbieżność takiego szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \sqrt{ \frac{3n+2}{5 n^{3}-3 n^{2}+n-1}}}\)

Myślę, że można go wyliczyć z kryterium porównwczego, jako że nie mam innych pomysłów (ewentualnie z Raabego - ale to już by było za bardzo zagmatwane).

Czy mam dobre rozwiązanie?:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{ \sqrt{3n} }{ \sqrt{5 n^{3} } }< \sum_{n=1}^{ } \sqrt{ \frac{3n+2}{5 n^{3}-3n ^{2} +n-1} }}\)

Wychodzi, że szereg jest rozbieżny.

[Piotr Rutkowski]

Dobrze masz, jednak jeszcze gwoli formalizacji należałoby pokazać, że dla odpowiednio dużych n zachodzi \(\displaystyle{ 3n^{2}-n+1>0}\) bo właśnie to odejmujesz w mianowniku

[Triton]

Mam jeszcze jedno zadanie. Tym razem chyba trudniejsze od poprzedniego.

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ } \frac{ \sqrt{2n+3}- \sqrt{2n+2}}{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n-1}}}\)

Nie wiem jak w tym przypadku zastosować kr. porównawcze. Bo wychodzi mi konkretna liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) tzn. o ile zrobiłam dobrze, czyli tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{2n+3}- \sqrt{2n+2}< \sqrt{2n}}\)
a \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n-1}}> \frac{1}{ \sqrt{n}}}\), jednak razem \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2n} }{ \sqrt{n} }> \frac{ \sqrt{2n+3}- \sqrt{2n+2}}{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n-1}}}\)

[Rogal]

W wyrazie ogólnym przemnóż licznik i mianownik przez sumę pierwiastków i z licznika i z mianownika (takie dwukrotne mnożenie) i wtedy dopiero się zastanawiaj nad nim, taka rada ; )

[Triton]

no to mi dało 1/pierwiastek z 2, ale szczegół...

[Rogal]

Zastanawia mnie, jak Ty z kryterium porównawczego (i po co) otrzymujesz takie śliczne liczby. Przecież chodzi o to, by otrzymać, że nasz szereg jest albo mniejszy od jakiegoś zbieżnego lub większy od rozbieżnego.
A Ty otrzymujesz, że jest mniejszy od rozbieżnego - cytując panią doktor od analizy: "w takiej sytuacji siedzimy i płaczymy, bo nic nie wiemy". Jak najbardziej - trzeba szukać innego oszacowania.

[Undre]

"w takiej sytuacji siedzimy i płaczymy, bo nic nie wiemy"

nie nie nie w takiej sytuacji pozostaje jedynie taka opcja :

[Triton]

No nie mam jeszcze takiej wprawy w znajdywaniu oszacowań, ale na szczęście już mam to zadanie (dzięki Jarkowi). Ale i tak dziękuję za dobre chęci.

[Rogal]

Undre - u nas na Instytucie nie ma takich miękkich ścian