Móglby mi ktoś pokazać jak policzyć taką całkę ?
(Zadanie 1683 ze zbioru Demidovicha)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}}}\)
Prawidłowy wynik wg autora to:
\(\displaystyle{ -\arcsin \frac{1}{|x|}}\)
Całka ze zbioru Demidovicha
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3879
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Całka ze zbioru Demidovicha
Ja bym zrobił tak:
\(\displaystyle{ t = \sqrt{x^2 -1} \ \ \ \frac{dt}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \ \ \ dx = \frac{dt \sqrt{x^2 - 1}}{x} \\
t \frac{t dt}{x^2 t} = t \frac{dt}{x^2} \\
\sqrt{x^2 -1} = t \ \ t^2 = x^2 -1 x^2 = 1 + t^2 \\
t \frac{dt}{1+t^2} = arctg(\sqrt{x^2 -1}) + C}\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{x^2 -1} \ \ \ \frac{dt}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \ \ \ dx = \frac{dt \sqrt{x^2 - 1}}{x} \\
t \frac{t dt}{x^2 t} = t \frac{dt}{x^2} \\
\sqrt{x^2 -1} = t \ \ t^2 = x^2 -1 x^2 = 1 + t^2 \\
t \frac{dt}{1+t^2} = arctg(\sqrt{x^2 -1}) + C}\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Całka ze zbioru Demidovicha
Wiemy, że \(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2 }} =arc sin(t)}\) co przy zapisie
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = t \frac{dx}{x^2 \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=- t \frac{dt}{\sqrt{1-t^2 }}}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ dt=-\frac{dx}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = t \frac{dx}{x^2 \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=- t \frac{dt}{\sqrt{1-t^2 }}}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ dt=-\frac{dx}{x^2}}\)
