Wymierna

[wieczyk]

Kolejny prosty przykład, który mnie połamał:

\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{1 + x^2}}\)

Próbowałem tak:

\(\displaystyle{ \int x d \arctan x = x \arctan x - t \arctan x dx}\)

ale nie wiem co z tym dalej zrobić

[Dargi]

\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{1+x^2}}\)
\(\displaystyle{ x^2+1=t\iff 2xdx=dt\iff xdx=\frac{1}{2}dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}ln|t|+C}\)

[wieczyk]

heh, to nie było trudne

a

\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{(x^3 + 3)^6}}\)
?

[Dargi]

Zauważ że:
\(\displaystyle{ \int\frac{xdx}{(x+\sqrt[3]{3})^6(x^2-\sqrt[3]{3}x+\sqrt[3]{9})^6}}\)

[wieczyk]

Pomyłke trzasnałem, przepisując mianownik.

\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{(x^2 +3)^6}}\)

[Jestemfajny]

skoro tak to jeszcze prosciej wystarczy podstawic \(\displaystyle{ t=x^{2}+3}\) wtedy

\(\displaystyle{ dt=2xdx \ \ xdx=\frac{dt}{2}....}\)

[Dargi]

No to teraz o wiele łatwiej
\(\displaystyle{ x^2+3=t\iff 2xdx=dt\iff xdx=\frac{1}{2}dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^6}=\frac{1}{2}\int t^{-6}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^{-5}}{-5}+C=\frac{t^{-5}}{-10}+C=...}\)
I wracamy do zmiennej x.

[wieczyk]

Juz to szczialem, dziekuje.

I tak co do szczegolow, pomylilo ci sie rozniczkowanie z calkowaniem, tzn -6 + 1 = -5 a nie -7. Al eto techniczny
szczegol, juz umime osiagnac prawidlowy wynik. Dlatego dziekuje za chec pomocy, ide sie doksztalcac dalej.

[Dargi]

wieczyk, oczywiście błąd już poprawiam.