pierwiastki bedące wyrazami ciągu

[fanch]

Liczby x1, x2 sa pierwiastkami równania:
\(\displaystyle{ x^2+x+A=0,}\)
a liczby x3, x4 są pierwiastkami równania:
\(\displaystyle{ x^2+4x+B=0}\).
wyznacz A i B wiedząc ze (x1,x2,x3,x4) jest ciągiem geometryczny o wyrazach całkowitych.

[Kobcio]

Z wzorów Viete'a otrzymujemy, iż:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}=A \wedge x_{3}x_{4}=B}\)
oraz
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=-1 \wedge x_{3}+x_{4}=-4}\)
z tego, że są to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego mamy:
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{1} \wedge x_{2}=x_{1} \cdot q \wedge x_{3}=x_{1}\cdot q^{2} \wedge x_{4}=x_{1} \cdot q^{3}}\)
a wtedy:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=-1 \Rightarrow x_{1}(1+q)=-1 \\
x_{3}+x_{4}=-4 \Rightarrow x_{1}(1+q)q^{2}=-4 \Rightarrow -1 \cdot q^{2}=-4 \Rightarrow q^{2}=4 \Rightarrow (q=2 \vee q=-2) \Rightarrow x_{1}=- \frac{1}{3} \vee x_{1}=1}\)
Teraz przypadki

I \(\displaystyle{ q=2 \wedge x_{1}=- \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ A=x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}q= \frac{2}{9} \\
B=x_{3}x_{4}=x_{1}^{2}q^{5}= \frac{32}{9}}\)

II \(\displaystyle{ q=-2 \wedge x_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ A=x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}q= -2 \\
B=x_{3}x_{4}=x_{1}^{2}q^{5}=-32}\)

Powyższego jestem pewnien tak na 95%, więc lepiej niech ktoś potwierdzi, że dobrze

[fanch]

Dzięki.

( dla takich A i B w obu przypadkach wszystko wygląda na to ze jest ok )