Wyznacz ekstremum funkcji / 2 funkcji

[RedFalcon]

Pierwsze : wyznacz ekstremum funkcji
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x}{x+1}}\)

Drugie: wyznacz ekstremum 2 funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)=e ^{ x^{2} + y^{2}}}\)


I jedna taka prośba do wytłumaczenia mi:
w badaniu ekstemum 2 funkcji używa się I pochodnej i potem II pochodnej. Nie rozumiem jednak pochodnej x,y po II pochodnych ( f'(x,y) ).

[JHN]

Funkcja
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x}{x+1}}\)
określona na \(\displaystyle{ R\setminus\{-1\}}\)jako homograficzna nie posiada ekstremów

Wobec : dla każdego \(\displaystyle{ x,y\in R}\) mamy \(\displaystyle{ x^2+y^2\ge 0}\) oraz monotoniczności funkcji wykładniczej, można stwierdzić, że
\(\displaystyle{ f(x,y)=e ^{ x^{2} + y^{2}}\ge e^0=1}\) i równość zachodzi dla \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\)
I bez pochodnych.

Pozdrawiam

[RedFalcon]

Hmm a jeżeli jest konieczność badania pochodnych? Jak to się robi z f'(x,y)?

[Dargi]

\(\displaystyle{ f(x,y)=e ^{ x^{2} + y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f}{ x}=2xe ^{ x^{2} + y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f}{ y}=2ye ^{ x^{2} + y^{2}}}\)
Przyrównujesz to zera i masz że:
\(\displaystyle{ 2xe ^{ x^{2} + y^{2}}=0\iff x=0\vee e=0\iff x=0}\)
\(\displaystyle{ 2ye ^{ x^{2} + y^{2}}=0\iff y=0 e=0\iff y=0}\)
Jak widać punkt \(\displaystyle{ (0;0)}\) jest ekstremem funkcji.
No i oczywiście \(\displaystyle{ e}\) nie może być 0 bo jest stałą :]