kryterium porownawcze - zbieznosc szeregow

zxc18 · Post autor: **zxc18** » 30 gru 2007, o 00:15

Eh znowu mam klopot, tym razem z kryterium porownawczym ...

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ } \frac{2 ^{n} + sin n! }{3 ^{n} }}\)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 30 gru 2007, o 00:32

\(\displaystyle{ |\frac{2^{n}+\sin n!}{3^{n}}| = \frac{|2^{n} + \sin n!|}{3^{n}} q \frac{|2^{n}| + |\sin n!|}{3^{n}} q \frac{2^{n} + 1}{3^{n}} < (\frac{2}{3})^{n}}\)
To na końcu to wyraz ogólny szeregu geometrycznego (a więc zbieżnego), stąd na mocy kryterium porównawczego nasz szereg jest zbieżny bezwzględnie.

luka52 · Post autor: **luka52** » 30 gru 2007, o 00:39

Tylko, że ostatnia nierówność jest w złą stronę

Rogal · Post autor: **Rogal** » 30 gru 2007, o 00:48

Ups : D
To robimy poprawkę:
\(\displaystyle{ \frac{2^{n}+1}{3^{n}} q \frac{2^{n}+2^{n}}{3^{n}} = 2(\frac{2}{3})^{n}}\)
Co również jest zbieżne. Ech, tak to jest, jak się nie myśli, co się pisze.
Dzięki za zwrócenie uwagi. Zostawiam ku przestrodze : P

zxc18 · Post autor: **zxc18** » 30 gru 2007, o 09:10

Dzieki za pomoc chlopaki. A moze jeszcze ten glupi przyklad : Z moich rozwazan wynika ze jest rozbiezny, tylko nie potrafie tego obliczyc ...

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{3 ^{n} + 1}{n3 ^{n} + 2 ^{n} }}\)

luka52 · Post autor: **luka52** » 30 gru 2007, o 10:18

\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{3^n + 1}{n3^n + 2^n} > \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{3^n}{n 3^n + n 3^n} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}}\)
Czyli rozbieżny ;]

Rogal · Post autor: **Rogal** » 30 gru 2007, o 10:23

To jesteśmy kwita - znak nierówności musi być w drugą stronę : )

luka52 · Post autor: **luka52** » 30 gru 2007, o 10:32

O kurczę!

zxc18 · Post autor: **zxc18** » 30 gru 2007, o 13:57

Heh i znowu kolejna przeszkoda:( na drodze zdobywania artefaktow umiejetnosci analizy ...

A mianowicie : Wykazac zbieznosc odpowiedniego szeregu i nastepnie na podstawie warunku koniecznego zbadac zbieznosci szeregow uzasadnic podane rownosci:

\(\displaystyle{ \lim \frac{ 7 ^{n}}{n ^{5}} = \infty}\) i licze to tak:

z kryterium d'Alemberta : \(\displaystyle{ lim ( \frac{ 7 ^{n+1}}{7 ^{n} } \frac{n ^{5} }{ (n+1)^{5} } )}\) co daje granice wieksza od 1 ... i nie wychodzi mi zbieznosc ...

Mam prawie podobny ( a w zasadzie nie

) przyklad i tam poprostu odwrocili ulamek przy badaniu kryterium d'alemberta ( zamienili mianownik z licznikiem ) : dlaczego ?
dodam ze inne przyklady mi ladnie wychodza .. a tylko ten nie ... a jest w podpunkcie a ....

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 30 gru 2007, o 13:59

A czy odejmowali od tego 1? Bo jeśli tak, to to było kryterium Raabego.

zxc18 · Post autor: **zxc18** » 30 gru 2007, o 14:03

ee nie odejmowali ... to byl taki przyklad :

\(\displaystyle{ lim \frac{n!}{1000 ^{n} } = \infty}\) W tym przykladzie rozwazmy szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1000 ^{n} }{n!}}\) zbieznosc tego szeregu z kryterium d'alemberta ... i jechali juz normalnie .. i nie wiem czemu to tak zamienili ??
Gdybym wiedzial czemu, to bym to zastowawal w moim przykladzie i wtedy granica wyszalby \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\) i bylby zbiezny ...

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 30 gru 2007, o 14:07

I na tej podstawie stwierdzili, że ten pierwszy jest zbieżny?! Może chodziło im o warunek konieczny dla tego odwróconego, dlatego jeśli ten pierwszy dąży do nieskończoności, to odwrócony do zera i warunek konieczny jest spełniony.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 30 gru 2007, o 14:53

Trzeba przyznać, że dość odważnie i według mnie głupio jest stwierdzać, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, ponieważ szereg nie jest zbieżny.
W Twoim przypadku według mnie najwygodniej byłoby to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \frac{7^{n}}{n^{5}} = \frac{1}{\frac{n^{5}}{7^{n}}}}\)
I już dzięki kryterium d'Alamberta uzasadnić, że ciąg z mianownika zmierza do 0. A wtedy cały będzie zmierzał do nieskończoności.