kryterium ilorazowe - zbieznosc szeregow

zxc18 · Post autor: **zxc18** » 29 gru 2007, o 19:17

Mam taki przyklad: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } arctg \frac{1}{n ^{2} }}\)

za an przyjmuje: \(\displaystyle{ arctg \frac{1}{n ^{2} } > 0}\) a za \(\displaystyle{ bn = \frac{1}{n}}\)

i liczac \(\displaystyle{ k = \frac{lim a_{n} }{lim b _{n} } otrzymuje 0 ..}\) poniewaz szereg
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n}}\) jest zbiezny ... i \(\displaystyle{ 0 < k > }\) ... no ale k nie jest wieksze od 0 .. i tu moje pytanie co mam zle ?:) Dzieki za pomoc

btw w takim przypadku szereg bedzie rozbiezny ??

edit: napisalem 1000 post w tym podziale w nagrode licze na szybka pomoc w zadaniu ^^

luka52 · Post autor: **luka52** » 29 gru 2007, o 19:27

\(\displaystyle{ b_n = \frac{1}{n^2}}\)
a wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1}\)

A tak btw. to szereg \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}}\) jest rozbieżny.

zxc18 · Post autor: **zxc18** » 29 gru 2007, o 19:40

a moglbys pokazac czemu to k = 1 ? bo cos mi nie wychodzi

edit : aha bo to jest to samo co \(\displaystyle{ \frac{tgx}{x} = 1}\) mozna tak rozumowac ?

luka52 · Post autor: **luka52** » 29 gru 2007, o 19:50

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} \stackrel{\mathbf{H}}{=} \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t^2} = 1}\)
takie byle jakie policzenie tej granicy

zxc18 · Post autor: **zxc18** » 29 gru 2007, o 20:00

Hmm znowu czegos nie rozumie, tresc zadania glosi : korzystajac z kryterium ilorazowego zbadaj zbieznosc szeregow:
w przykladzie a) " poniewaz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{n ^{3} }}\) jest
ZBIEZNY ... "

w przykladzie b) "poniewaz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{n}}\) jest ROZBIEZNY ..." o co tutaj chodzi ?? gubie sie w tym :/:/ kiedy wiem ze jest zbiezny a kiedy rozbiezny ???

luka52 · Post autor: **luka52** » 29 gru 2007, o 20:03

(Szeregiem harmonicznym rzędu α...)