Witam moze ktos sprubuje rozwiazac bo mi nie wychodzi z gory dzieki
\(\displaystyle{ \left( 1-x \right) ft( y+y'' \right) =e ^{-x}, \quad y(2)=0}\)
\(\displaystyle{ (1-x)(y' + y)=e^x, \quad y(2)=0}\)
[ Dodano: 26 Grudnia 2007, 13:12 ]
Dzieki
Równania różniczkowe
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 26 gru 2007, o 12:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Grudziadz
Równania różniczkowe
Ostatnio zmieniony 26 gru 2007, o 13:50 przez Elektryk19, łącznie zmieniany 1 raz.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Równania różniczkowe
sam zapis jest fatalny może tak:
\(\displaystyle{ (1-x)(y^{'}+y)=e^{-x}}\)
lub:
\(\displaystyle{ y^{'}+y= \frac{e^{-x}}{1-x}}\)
rozwiązanie ogólne to:
\(\displaystyle{ y=e^{-\int Pdx}(\int Qe^{\int Pdx}dx+c)}\)
P=1
\(\displaystyle{ Q=\frac{e^{-x}}{1-x}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ y=e^{-\int dx}(\int \frac{e^{-x}}{1-x} e^{\int dx}dx+c)}\)
po postych obliczeniach mamy:
\(\displaystyle{ y=-e^{-x}ln(1-x)+Ce^{-x}}\)
z warunku C obliczysz
pozdro...
\(\displaystyle{ (1-x)(y^{'}+y)=e^{-x}}\)
lub:
\(\displaystyle{ y^{'}+y= \frac{e^{-x}}{1-x}}\)
rozwiązanie ogólne to:
\(\displaystyle{ y=e^{-\int Pdx}(\int Qe^{\int Pdx}dx+c)}\)
P=1
\(\displaystyle{ Q=\frac{e^{-x}}{1-x}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ y=e^{-\int dx}(\int \frac{e^{-x}}{1-x} e^{\int dx}dx+c)}\)
po postych obliczeniach mamy:
\(\displaystyle{ y=-e^{-x}ln(1-x)+Ce^{-x}}\)
z warunku C obliczysz
pozdro...
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Równania różniczkowe
Temat wystarczyło napisać raz a pożądnie!
Co do równań, to:
Pierwsze zapisujemy w postaci
\(\displaystyle{ y'' + y = \frac{e^{-x}}{1-x}, \quad x 1}\)
Rozwiązaniem równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_1 = A \cos x + B \sin x}\)
Następnie zastosujemy metodę uzmienniania stałych; mamy
\(\displaystyle{ y_2 = A(x) \cos x + B(x) \sin x}\)
pochodne A(x) i B(x) muszą spełniać następujące związki:
\(\displaystyle{ A'(x) \cos x + B'(x) \sin x = 0\\
A'(x) (-\sin x) + B'(x) \cos x = \frac{e^{-x}}{1-x}}\)
Mnożąc pierwsze równanie przez cos x, a drugie przez -sin x i dodając stronami mamy:
\(\displaystyle{ A'(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{x-1}}\)
Tutaj zaczyna się główna trudność tego zadania
Jest to całka nieelementarna i nawet można nieco ją "uprościć" lecz ja bym pozostawił to tak jak jest czyli:
\(\displaystyle{ A(x) = t \frac{e^{-x} \sin x}{x-1} }\)
Z kolei B(x) to:
\(\displaystyle{ B(x) = t \frac{e^{-x} \cos x}{1-x} }\)
A ostateczne rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ y(x) = A \cos x + B \sin x + \cos x t \frac{e^{-x} \sin x}{x-1} + \sin x t \frac{e^{-x} \cos x}{1-x} }\)
(bez uwzględnienia warunków brzegowych)
Co do równań, to:
Pierwsze zapisujemy w postaci
\(\displaystyle{ y'' + y = \frac{e^{-x}}{1-x}, \quad x 1}\)
Rozwiązaniem równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_1 = A \cos x + B \sin x}\)
Następnie zastosujemy metodę uzmienniania stałych; mamy
\(\displaystyle{ y_2 = A(x) \cos x + B(x) \sin x}\)
pochodne A(x) i B(x) muszą spełniać następujące związki:
\(\displaystyle{ A'(x) \cos x + B'(x) \sin x = 0\\
A'(x) (-\sin x) + B'(x) \cos x = \frac{e^{-x}}{1-x}}\)
Mnożąc pierwsze równanie przez cos x, a drugie przez -sin x i dodając stronami mamy:
\(\displaystyle{ A'(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{x-1}}\)
Tutaj zaczyna się główna trudność tego zadania
Jest to całka nieelementarna i nawet można nieco ją "uprościć" lecz ja bym pozostawił to tak jak jest czyli:
\(\displaystyle{ A(x) = t \frac{e^{-x} \sin x}{x-1} }\)
Z kolei B(x) to:
\(\displaystyle{ B(x) = t \frac{e^{-x} \cos x}{1-x} }\)
A ostateczne rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ y(x) = A \cos x + B \sin x + \cos x t \frac{e^{-x} \sin x}{x-1} + \sin x t \frac{e^{-x} \cos x}{1-x} }\)
(bez uwzględnienia warunków brzegowych)
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Równania różniczkowe
Czy w tym zrobionym przez Arek1357 można zrobić tak, że wprowadzam czynnik całkujący:
\(\displaystyle{ U = e^x \\
y'e^x + ye^x = \frac{1}{1-x}}\)
Całkujemy:
\(\displaystyle{ \int (ye^x)'dx = t \frac{1}{1-x}dx \\
ye^x = -ln(1-x) + C \\
y = -e^{-x}ln(1-x) + Ce^{-x} \\}\)
Czyli, jak rozumiem, Arek1357 od razu napisał ogólne rozwiązanie i potem je obliczał, a ono jest wyznaczane w ten właśnie sposób. Dobrze mówię?
\(\displaystyle{ U = e^x \\
y'e^x + ye^x = \frac{1}{1-x}}\)
Całkujemy:
\(\displaystyle{ \int (ye^x)'dx = t \frac{1}{1-x}dx \\
ye^x = -ln(1-x) + C \\
y = -e^{-x}ln(1-x) + Ce^{-x} \\}\)
Czyli, jak rozumiem, Arek1357 od razu napisał ogólne rozwiązanie i potem je obliczał, a ono jest wyznaczane w ten właśnie sposób. Dobrze mówię?