Równania różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Elektryk19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 26 gru 2007, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz

Równania różniczkowe

Post autor: Elektryk19 »

Witam moze ktos sprubuje rozwiazac bo mi nie wychodzi z gory dzieki

\(\displaystyle{ \left( 1-x \right) ft( y+y'' \right) =e ^{-x}, \quad y(2)=0}\)

\(\displaystyle{ (1-x)(y' + y)=e^x, \quad y(2)=0}\)

[ Dodano: 26 Grudnia 2007, 13:12 ]
Dzieki
Ostatnio zmieniony 26 gru 2007, o 13:50 przez Elektryk19, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Równania różniczkowe

Post autor: arek1357 »

sam zapis jest fatalny może tak:

\(\displaystyle{ (1-x)(y^{'}+y)=e^{-x}}\)

lub:

\(\displaystyle{ y^{'}+y= \frac{e^{-x}}{1-x}}\)

rozwiązanie ogólne to:

\(\displaystyle{ y=e^{-\int Pdx}(\int Qe^{\int Pdx}dx+c)}\)

P=1

\(\displaystyle{ Q=\frac{e^{-x}}{1-x}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ y=e^{-\int dx}(\int \frac{e^{-x}}{1-x} e^{\int dx}dx+c)}\)

po postych obliczeniach mamy:

\(\displaystyle{ y=-e^{-x}ln(1-x)+Ce^{-x}}\)

z warunku C obliczysz

pozdro...
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Równania różniczkowe

Post autor: luka52 »

Temat wystarczyło napisać raz a pożądnie!

Co do równań, to:

Pierwsze zapisujemy w postaci
\(\displaystyle{ y'' + y = \frac{e^{-x}}{1-x}, \quad x 1}\)
Rozwiązaniem równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_1 = A \cos x + B \sin x}\)
Następnie zastosujemy metodę uzmienniania stałych; mamy
\(\displaystyle{ y_2 = A(x) \cos x + B(x) \sin x}\)
pochodne A(x) i B(x) muszą spełniać następujące związki:
\(\displaystyle{ A'(x) \cos x + B'(x) \sin x = 0\\
A'(x) (-\sin x) + B'(x) \cos x = \frac{e^{-x}}{1-x}}\)

Mnożąc pierwsze równanie przez cos x, a drugie przez -sin x i dodając stronami mamy:
\(\displaystyle{ A'(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{x-1}}\)
Tutaj zaczyna się główna trudność tego zadania
Jest to całka nieelementarna i nawet można nieco ją "uprościć" lecz ja bym pozostawił to tak jak jest czyli:
\(\displaystyle{ A(x) = t \frac{e^{-x} \sin x}{x-1} }\)
Z kolei B(x) to:
\(\displaystyle{ B(x) = t \frac{e^{-x} \cos x}{1-x} }\)
A ostateczne rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ y(x) = A \cos x + B \sin x + \cos x t \frac{e^{-x} \sin x}{x-1} + \sin x t \frac{e^{-x} \cos x}{1-x} }\)
(bez uwzględnienia warunków brzegowych)
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Równania różniczkowe

Post autor: Wasilewski »

Czy w tym zrobionym przez Arek1357 można zrobić tak, że wprowadzam czynnik całkujący:
\(\displaystyle{ U = e^x \\
y'e^x + ye^x = \frac{1}{1-x}}\)

Całkujemy:
\(\displaystyle{ \int (ye^x)'dx = t \frac{1}{1-x}dx \\
ye^x = -ln(1-x) + C \\
y = -e^{-x}ln(1-x) + Ce^{-x} \\}\)

Czyli, jak rozumiem, Arek1357 od razu napisał ogólne rozwiązanie i potem je obliczał, a ono jest wyznaczane w ten właśnie sposób. Dobrze mówię?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Równania różniczkowe

Post autor: arek1357 »

Bardzo dobrze mówisz tak właśnie jest
Poszdłem na skróty
ODPOWIEDZ