Proszę o sprawdzenie kilku całek

[patyczak]

1.
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{6x^{2}-13x+6 }}\)

\(\displaystyle{ \Delta=169-144=25}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ 6x^{2}-13x+6=6(x-\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3})=(2x-3)(3x-2)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{6x^{2}-13x+6}= \frac{A}{2x-3}+ \frac{B}{3x-2}}\)
\(\displaystyle{ A(3x-2)+B(2x-3)=1
\(\displaystyle{ 3A+2B=0}\)
\(\displaystyle{ -2A-3B=1}\)
\(\displaystyle{ B=-\frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{6x^{2}-13x+6 }=\frac{1}{5}ln|x-\frac{3}{2}|-\frac{1}{5}|x-\frac{2}{3}|}\)

2.
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{-3x^{2}+2x }=\int\frac{dx}{x(2-3x)}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x(2-3x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{2-3x}}\)
\(\displaystyle{ 1=A(-3x+2) + Bx}\)
\(\displaystyle{ -3A+B=0}\)
\(\displaystyle{ 2A=1}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ B=\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{-3x^{2}+2x }=\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}ln|2-3x|}\)

3.
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{2x^{2}-2x+5}}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-36}\)
\(\displaystyle{ p=\frac{1}{2} q=\frac{9}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{2x^{2}-2x+5}=\frac{1}{3}\int\frac{dx}{(x+\frac{1}{3})^{2}+\frac{9}{2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\int\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}+9}}\)
\(\displaystyle{ x-\frac{1}{2}=3t}\)
\(\displaystyle{ dx=3dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\int\frac{dt}{9t^{2}+9}=\frac{3}{18}\int\frac{dt}{t^{2}+1}=\frac{1}{6}arctg\frac{x-\frac{1}{2}}{3}}\)

Zostały jeszcze 3. Przeedytuje post i je dodam a na razie proszę o sprawdzenie tych. Dziękuję z góry za pomoc

4.
\(\displaystyle{ \int\frac{4x-1}{2x^{2}-2x+1}dx}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-4}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{4x-2+1}{2x^{2}-2x+1}=\int\frac{4x-2}{2x^{2}-2x+1}dx+\int\frac{dx}{2x^{2}-2x+1}}\)
\(\displaystyle{ p=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{2x^{2}-2x+1}=\int\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}}}\)
\(\displaystyle{ x-\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{1}{\sqrt{2}}dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dt}{\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}} arctg\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ ln|2x^{2}-2x+1|+ \frac{2}{\sqrt{2}} arctg\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}}\)}\)

[soku11]

1. Jest ok.
2. Zapis rozkladania na ulamki powinien byc bez znaczka calki. A wynik dobrze.
3. Zapomniales o wspolczynniku a przy f-cji w mianowniku. Rozbija sie ja na:
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x}{ 2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{2} }=\frac{1}{2} t \frac{\mbox{d}x}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}}=...}\)

POZDRO

[patyczak]

Dzięki za sprawdzenie.
Mógłby jeszcze ktoś sprawdzić 4?

[soku11]

Poaczatek ok tylko znow w mianowniku cos nie halo... Nie wiem wogole czemu korzystasz z tych wzorow na p i q, skoro latwiej jest zamieniac tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{2x^2-2x+1}=
t \frac{dx}{2(x^2-x+\frac{1}{2})}=
t \frac{dx}{2[(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}]}=
\frac{1}{2} t \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}}}\)

POZDRO