granica - dowody

bienio · Post autor: **bienio** » 21 gru 2007, o 19:13

czy ktos moglyby napisac na to dowody

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (a_{n}-b_{n})= a - b}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (\frac{a_{n}}{b_{n}})=\frac{a}{b}}\)

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 21 gru 2007, o 19:22

1) \(\displaystyle{ a_n a b_n b}\)
\(\displaystyle{ |(a_n - b_n) - g| < \epsilon}\)
I teraz sprawdzamy
\(\displaystyle{ |(a_n - b_n) - (a-b)| = |(a_n -a) - (b_n - b)| qslant |a_n - a| - |b_n - b| |b_n- b|}\)

bienio · Post autor: **bienio** » 21 gru 2007, o 20:50

nasz profesor przyklan na sume udowodnil w inny sposon

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n>N_{1}} a- \eta }\)

Qń · Post autor: Qń » 21 gru 2007, o 22:54

Metoda Wasilewskiego jest dobra (modulo zamiana jednego minusa na plus oraz uściślenie, że nierówności zachodzą od pewnego \(\displaystyle{ n}\) i od jakiego), natomiast w metodzie podanej przez profesora wystarczy pomnożyć drugą nierówność stronami przez \(\displaystyle{ -1}\) i zsumować stronami (byleby tylko kierunki nierówności się zgadzały). Wyjdzie tak samo jak granicą sumą ciągów.

Natomiast jeśli chodzi o iloraz ciągów, to metodą profesora też się da, aczkolwiek to trochę karkołomne - lepiej zrobić to podobnie jak przedmówca (pamiętając, że ciąg zbieżny jest ograniczony, co może się przydać).

Pozdrawiam.
Qń.

bienio · Post autor: **bienio** » 21 gru 2007, o 23:26

jutro sprubuje napisac ten iloraz i wysle do sprawdzenia (teraz jest juz pozno i wszystkie zwoje mozgowe calkowicie mi sie wyprostowały)

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 21 gru 2007, o 23:42

Nie wiedziałem jak się pisze w Latexu kwantyfikatory, więc tak na szybko napisałem bez założeń. Następnym razem będę dokładniejszy.

bienio · Post autor: **bienio** » 22 gru 2007, o 00:09

\(\displaystyle{ a_{n}\longrightarrow a}\)

\(\displaystyle{ b_{n}\longrightarrow b}\)

\(\displaystyle{ |(a_{n}*b_{n})-(a*b)|}\)

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 22 gru 2007, o 11:16

Tak to w sumie niczego nie dowiodłeś.
\(\displaystyle{ a_n a b_n b}\)
\(\displaystyle{ |(a_n\cdot b_n) - (a\cdot b)| = |(a_n - a)b_n + a(b_n-b)| qslant |a_n -a||b_n| + |a||b_n - b|}\)

bienio · Post autor: **bienio** » 22 gru 2007, o 14:58

a skad wziales ta 1/2

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 22 gru 2007, o 15:14

To tylko przykład, jaki sobie możemy wziąć, bo ogólnie chodzi o otoczenie punktu. Wiadomo, że dla dużych n \(\displaystyle{ |b_n - b|}\)

bienio · Post autor: **bienio** » 22 gru 2007, o 15:30

a jie treba tego samego zrobic dla a tak jak w pierwszym przykladzie?

[ Dodano: 22 Grudnia 2007, 15:32 ]
czy mozna tak zakonczyc

[ Dodano: 22 Grudnia 2007, 15:34 ]

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 22 gru 2007, o 15:36

No można sobie jakieś wziąć. Ważne, że dochodzimy od postaci:
\(\displaystyle{ |a_n - a||b| + |b_n - b||a| |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2|b|}}\)
\(\displaystyle{ |b_n - b||a| |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2|a|}}\)

bienio · Post autor: **bienio** » 22 gru 2007, o 15:37

dzieki

[ Dodano: 22 Grudnia 2007, 20:50 ]
czy w dzieleniu powinno wyjsc takie cos
\(\displaystyle{ |a_{n}-a||\frac{1}{b_{n}}|-|b_{n}-b||\frac{a}{b_{n}*b}|}\)

to wyrazenie oczywiscie mniejszcze od epsilona pozniejsze wskazowki juz zrozumialem

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 23 gru 2007, o 19:42

Mi też tak wyszło.