Zbadaj ciąglość funkcji

[rainbowxxl]

1.\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^{2}-x^{3}}{ ft| x-1 \right|}}\)
2.\(\displaystyle{ f(x)=x- ft[ x \right]}\)

[seti]

\(\displaystyle{ dla\ x1\\ f(x)=-x^2\\\lim_{x\to1} f(x)=-1\\}\)

[kuch2r]

\(\displaystyle{ dla\ x1\\ f(x)=-x^2\\\lim_{x\to1} f(x)=-1\\}\)
Granice sa rozne wiec f. nie jest ciagla w pkcie x=1(ktory z kolei nie nalezy do dziedziny). Funkcja f(x)=x-|x| jest ciagla.

Zauwaz ,ze autor zadania napisal:
\(\displaystyle{ f(x)=x-[x]}\),
gdzie:
\(\displaystyle{ [x]}\) - oznacza czesc calkowita liczby nie wieksza od \(\displaystyle{ x}\)
Rozwazmy dwa ciagi:
\(\displaystyle{ x'_{n}=a+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ x''_{n}=a-\frac{1}{n}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a\in Z}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(x'_n)=\lim_{n\to } a+\frac{1}{n} - [a+\frac{1}{n}]=\lim_{n\to\infty}a+\frac{1}{n}-a=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(x''_n)=\lim_{n\to } a-\frac{1}{n} - [a-\frac{1}{n}]=\lim_{n\to\infty}a-\frac{1}{n}-(a-1)=\lim_{n\to\infty} 1-\frac{1}{n}=1}\)

Zatem funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest nieciagla w kazdym punkcie \(\displaystyle{ a\in Z)}\)