całki bardzo proste

[p3pik]

mam takie calki
\(\displaystyle{ \int_{}^{} =3 \sqrt{x}dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} (2x-7)^3 dx}\) metoda podstawienia
oraz
\(\displaystyle{ \int_{1}^{5} \frac{1}{x+3} dx}\)

i jak za pomocą całek obliczyć powierzchnię pomiędzy osia OX i prostymi y=x+4 i y=-x+2

[Grzegorz t]

\(\displaystyle{ t=2x-7, dt=2dx, dx=\frac{1}{2}dt}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{2}\cdot t^3dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}t^4=\frac{1}{8}(2x-7)^4+C}\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{5} \frac{dx}{x+3}=[\ln ft|x+3 \right|]_{1}^{5}=\ln8-\ln4=\ln2}\)

3.Wzór na pole obszaru \(\displaystyle{ D}\) ograniczonego krzywymi wynosi \(\displaystyle{ P=\iint_{D}dxdy}\) Rozważany obszar pomiędzy prostymi zapisujemy jako normalny wzgledem osi \(\displaystyle{ OY}\) czyli \(\displaystyle{ x [y-4;2-y], y [0;3]}\) zatem mamy \(\displaystyle{ P= t_{0}^{3}dy t_{y-4}^{2-y}= t_{0}^{3}(6-2y)dy=[-y^2+6y]_{0}^{3}=-3^2+18=9}\)

sprawdzenie: rozważany obszar jest trójkątem prostokątnym i pole wynosi \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3=9}\)

[Wasilewski]

1)
\(\displaystyle{ \int 3\sqrt{x} dx = 3\int x^{\frac{1}{2}} dx=3\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}}}\)