Udowodnij

[Marcin89]

\(\displaystyle{ log _{a}b=\frac{ log_{b}c }{log _{a}c }}\)



Przy okazji jak nauczyć się dowodzenia wszelkich twierdzeń, o ile inne zadania nie są trudne to takie powszechnie uważane twierdzenia, bardzo.Jaką wy macie metodę? Czy po prostu uczycie się tego na pamięć?

[jarekp]

\(\displaystyle{ log _{a}b=\frac{ log_{b}c }{log _{a}c }}\)

hm to nie jest prawda. pewnie chodziło Ci o to twierdzenie:
\(\displaystyle{ log _{a}b=\frac{ log_{c}b}{log _{c}a}}\)

ja to dowodzę w ten sposób:

z definicji logarytmu mamy:
\(\displaystyle{ a^{ log_{a}b}=b}\)
\(\displaystyle{ c^{ log_{c}b}=b}\)
\(\displaystyle{ c^{ log_{c}a}=a}\)

a więc
\(\displaystyle{ a^{ log_{a}b}=b (c^{ log_{c}a})^{ log_{a}b}=b (c^{ log_{c}a})^{ log_{a}b}=c^{ log_{c}b} c^{ log_{c}a log_{a}b}=c^{ log_{c}b} log_{c}a log_{a}b=log_{c}b log _{a}b=\frac{ log_{c}b}{log _{c}a}}\)
q.e.d