[Trygonometria] Tożsamość na pierwiastkach i cosinusach

edyta · Post autor: **edyta** » 17 sty 2005, o 10:11

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\) (po prawej stronie mamy n pierwiastkowań).

krzysiek1412 · Post autor: **krzysiek1412** » 17 sty 2005, o 11:50

Takie rzeczy to najlepiej indukcyjnie robić, ale ja nie robię, bo trochę zapisu nie mogę odczytać :/

edytaaaa · Post autor: **edytaaaa** » 17 sty 2005, o 15:59

Może teraz będzie bardziej czytelne...

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\)

g · Post autor: g » 17 sty 2005, o 16:12

bardzo latwe - indukcja, a po drodze wzor na cosinus kata polowkowego: \(\displaystyle{ \cos {\alpha \over 2} = \sqrt{{1+ \cos \alpha \over 2}}}\) dla tych \(\displaystyle{ \alpha}\) co nas interesuja.

edytaaaa · Post autor: **edytaaaa** » 17 sty 2005, o 19:06

Nie bardzo wiem jak zmieni się prawa strona równania kiedy \(\displaystyle{ n=k+1}\).

Po prostu nie wiem jak to zapisać