Liczby a, b, c są dł. boków trójkąta, udowodnij, że.

[edyta]

liczby a, b, c są długościami boków trójkąta. Udowodnij, że:

abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

[g]

niech \(\displaystyle{ 2p= a+b+c}\). po drodze skorzystamy z paru wzorow na pole trojkata: \(\displaystyle{ S = {abc \over 4R} = pr = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\) (r i R to promienie okregow wpisanego i opisanego). mamy:
\(\displaystyle{ abc \geq 8(p-a)(p-b)(p-c)}\)
\(\displaystyle{ pabc \geq 8S^2}\)
\(\displaystyle{ p {abc \over 4R} \geq {2S^2 \over R}}\)
\(\displaystyle{ pR \geq 2S}\)
\(\displaystyle{ pR \geq 2pr}\)
\(\displaystyle{ R \geq 2r}\)
a to jest dobrze znanym faktem.

[_el_doopa]

inaczej:
niech
\(\displaystyle{ a=x+y}\)
\(\displaystyle{ b=y+z}\)
\(\displaystyle{ c=z+x}\)

mamy do wykazania:
\(\displaystyle{ L=(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8sqrt(xy)sqrt(yz)sqrt(zx)=8xyz=P}\)

pierwsze podstawienie to odcinki na jakie dzieli boki trojkata okrag wpisany
te odcinki sa dodatnie,korzystamy z AM-GM

[edytaaaa]

w jaki najprostrzy sposób mogę udowodnić, że
R>=2r ?

[g]

w sumie najszybciej to podstawieniem doopy wyrazasz R i r w zaleznosci od bokow i pola, pole podstawiasz ze wzoru Herona, podstawiasz jak doopa i korzystasz ze srednich.

[edytaaaa]

tak tylko ja nie rozumiem sposobu el_doopy...
ty korzystałeś z [sqrt]xy≤(x+y)/2?

co to jest AM-GM?? łatwiej by mi byłó teraz udowodnić, że R>=2r...

[g]

chodzi o nierownosc miedzy srednimi: arytmetyczna i geometryczna. czego dokladnie nie rozumiesz?

[_el_doopa]

nie chcesz AM-GM to teraz moja ulubiona metoda:
(hehe przecudna jest)
zauwaz ze nierownosc poczatkowa jest rownowazna:
\(\displaystyle{ \frac{(a+b-c)*(a-b)^2 + (b+c-a)*(b-c)^2 + (a+c-b)*(a-c)^2}{2} q0}\)
a to chyba oczywiste

P.S. niewierzysz to przelicz

[edytaaaa]

hmmm chyba jednak skorzystam z tej nierownosci miedzy srednia geometryczna a arytmetyczną
chyba juz bede wiedziala jak to udowodnic i dziękuje wam za pomoc:)