Obliczyć granice

[RyHoO16]

A)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+3}}{2n+1}}\)

B)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ 5^{2n-1} - 3^n}{2^{2n+4}-3^{n+1}}}\)

C)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!-n!}{(n+2)!+(n-1)!}}\)

D)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ft(\frac{2n-1}{3-n}\right)^{2n}}\)

Za wszelką pomoc Wielkie ThX.

[Hamster]

a) podziel przez n
b) rozpisz to, wtedy będziec widział rpzez co podzielić
d) patrz - liczba e

[Lorek]

d) patrz - liczba e

do e potrzebnie jest wyrażenie \(\displaystyle{ 1^\infty}\)

[Piotr Rutkowski]

Na upartego da się zrobić:
\(\displaystyle{ (\frac{2n-1}{3-n})^{2n}=(\frac{2n-1}{2n-6}*(-2))^{2n}=...}\)

c))\(\displaystyle{ \frac{(n+1)!-n!}{(n+2)!+(n-1)!} =\frac{n(n+1)-n}{n(n+1)(n+2)+1}\rightarrow 0}\)

[RyHoO16]

co do podpunktu c) uczono mnie, że dziele przez najwyższą potęga czyli\(\displaystyle{ (n+2)!}\), może się mylę ale granica w tym przypadku też wychodzi 0

natomiast do podpunktu d) doszedłem do postaci\(\displaystyle{ \left(1+\frac{3n-4}{3-n}\right)^{2n}}\)
i dalej już nie potrafię.

[Piotr Rutkowski]

Znaczy w punkcie d) po zwykłym podstawieniu wychodzi od razu \(\displaystyle{ +\infty}\)

[RyHoO16]

a co mam takiego podstawić bo nie potrafię tego

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ )(\frac{2n-1}{3-n})^{2n}=((\frac{2-\frac{1}{n}}{-1+\frac{3}{n}})^{2})^{n}=[4^{\infty}]=\infty}\)

[RyHoO16]

To teraz dobrze rozwiązałem te przykłady, bo nie jestem za bardzo dobry w te klocki.

A)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+3}}{2n+1}=\frac{ \sqrt{1+\frac{2}{n}} - \sqrt{1+\frac{3}{n}}}{2+\frac{1}{n}}=0}\)

B)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ 5^{2n-1} - 3^n}{2^{2n+4}-3^{n+1}}=\frac{ \frac{5^{2n-1}}{4 ^{n}} - \frac{3^n}{4 ^{n}}}{4-\frac{3^{n+1}}{4 ^{n}}}=0}\)

C)\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!-n!}{(n+2)!+(n-1)!}=\frac{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n(n+1)}}{1+\frac{1}{n(n^2-1)}}=0}\)