[LIX OM] I etap

[dabros]

a ja chętnie bym zobaczył pełne rozwiązanie 9 i może jeszcze 11?

[Piotr Rutkowski]

Ja nie wysłałem zadania 10, bo nie umiałem ładnie zapisać. Na intuicję wyszło ładnie, ale... zapis mnie przerósł:
Moje przemyślenia:
Rozważamy sobie:
\(\displaystyle{ a_{1}\neq n^{p}}\)
Teraz Weźmy takie k, żeby zachodziło:
\(\displaystyle{ k^{p}}\)

[HawaT]

Ja mam nieco dluzej 9-te
1 Pokazuje ze dla a=0 warunki zadania zachodza ( szybko idzie z Jensena )
2 Sprawdzam co sie stanie dla a

[pog]

[dabros]

sorry "pog", ale czy możesz zamieścić w podobny sposób zadanie 9 i 11
bedę wdzieczny.. a 10 przyznaje zrobiles ciekawie, choc ja mam inaczej

[pog]

a 11 i 12 wam nie pokażę bo mój opis jest obrzydliwy i się wstydzę

[dabros]

to może chociaż prywatnie na maila: micdab@onet.eu ?? co ty na to?

[Sylwek]

Rozrysuj sobie kolego na kartce - po tym co napisałem już na 90% powinieneś zrobić , szukaj czworokątów, w których suma kątów przy przeciwległych wierzchołkach wynosi 180* i pamiętaj, że przez 3 niewspółliniowe punkty przechodzi tylko jeden okrąg

pog, zadanie 9. masz podobnie do mnie, tylko ja mam trochę krócej , mianowicie gdy \(\displaystyle{ x+y q 2}\), to możemy zapisać \(\displaystyle{ x=n+k}\), \(\displaystyle{ y=n-k}\) (gdzie \(\displaystyle{ 3-z=2n}\)), a następnie:

\(\displaystyle{ x^3+y^3=(n+k)^3+(n-k)^3=2n^3+6nk^2}\)
Minimum gdy k=0 , to tak skrótowo, a potem już podobnie do Ciebie nierówność wielomianowa. Zadanie 10. przejrzę później, zbyt późna teraz pora

[jaco1024]

Macie zadanie 10 pokrótce

Ciąg jest ściśle rosnący, zatem istnieją takie \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ k}\), że:

\(\displaystyle{ k^p q a_m q (k+1)^p}\)

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejszą taką liczbą.
Wtedy:
\(\displaystyle{ a_m = k^p + r \qquad 0 q r < k\cdot p}\)

Zauważmy teraz, że:

\(\displaystyle{ (k+1)^p= k^p + =k^p + {p \choose 1}k^{p-1} + {p \choose 2}k^{p-2}+ ... + {p \choose p-1}k + 1 = k^p + a kp +1}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ a_{m+a}= a_m + a kp = (k+1)^p + r -1}\)
\(\displaystyle{ a_{jakies tam}= (k+2)^p + r - 2}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ a_{inne jakies tam}= (k+r)^p}\)
Co dowodzi tezę.

[pog]

pog, zadanie 9. masz podobnie do mnie, tylko ja mam trochę krócej , mianowicie gdy \(\displaystyle{ x+y q 2}\), to możemy zapisać \(\displaystyle{ x=n+k}\), \(\displaystyle{ y=n-k}\)

ja po prostu nie robiłem tego podstawienia bo mi się nie chciało, zostawiłem sobie oryginalne zmienne x i y

[King James]

9. gdy x,y,z>=1 nierówność spełniona, przyjmijmy bez straty ogólności że y

[jaco1024]

Jakim cudem funkcję kwadratową skoro tam jest \(\displaystyle{ x^3}\)

Jak już tak myślicie nad innymi metodami udowodnienia tego czegoś, to można to np. zrobić z pochodnej.

Albo udowodnić nie wprost, że z założenia:
\(\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 < 2 (\frac{x+y}{2})^3 + z^3}\)
\(\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 < 2 (\frac{y+z}{2})^3 + x^3}\)
\(\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 < 2 (\frac{z+x}{2})^3 + y^3}\)
Wynika sprzeczność.

[King James]

x^3+y^3+(3-x-y)^3=x^3+y^3+27+(-x)^3+(-y)^3+b=27+b i się skróciły 3 potęgi

[soliter]

10 - identycznie jak Jaco 2^{10} -> pretekst, by powiedzieć, że King James rządzi ; )

[zaudi]

czy jak udowodniłem ze punkty leza na jednym okregu i późnije dodałem komentarz ze katy sa równe to mam szans e na jakis punkt w 11 najlepiej jak bym dostał 2 punkty za kazde z zadan