Granica

SebastianBs · Post autor: **SebastianBs** » 10 gru 2007, o 20:00

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0+ } (1+x)^{lnx}}\)

BartekPwl · Post autor: **BartekPwl** » 10 gru 2007, o 20:08

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0+ } (1+x)^{lnx}=[1^{-\infty}]=1}\)
trochę to brzydko zapisane, ale idea zachowana

(oczywiście trzeba to rozwiązać z de l'Hospitala)

SebastianBs · Post autor: **SebastianBs** » 10 gru 2007, o 20:12

Ale aby napewno??????

BartekPwl · Post autor: **BartekPwl** » 10 gru 2007, o 20:13

Na pewno.

SebastianBs · Post autor: **SebastianBs** » 10 gru 2007, o 20:16

Przecierz to jest symbol nieoznaczony a nie 1 !!!!!

BartekPwl · Post autor: **BartekPwl** » 10 gru 2007, o 20:19

\(\displaystyle{ 1^{-\infty}}\) to w istocie symbol nieoznaczony. Dlatego napisałem go w nawiasach prostokątnych. Liczbę wykrzykników możesz zredukować do jednego.

SebastianBs · Post autor: **SebastianBs** » 10 gru 2007, o 20:21

No dobrze wiec skoro to symbol nieoznaczony to czemu granica jest rowna 1?

BartekPwl · Post autor: **BartekPwl** » 10 gru 2007, o 20:39

Najpierw podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\), a następnie podstawienie \(\displaystyle{ x=t}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} ft( 1+\frac{1}{x}\right)^{\ln{\frac{1}{x}}}=\lim_{x \to +\infty} ft( 1+\frac{1}{x}\right)^{-\ln{x}}=\lim_{x \to +\infty} ft( 1+\frac{\ln{x}}{x\ln{x}}\right)^{-\ln{x}}=\lim_{x \to +\infty} ft( 1+\frac{\ln{x}}{x\ln{x}}\right)^{\frac{x\ln{x}}{\ln{x}}\cdot(-\frac{\ln{x}}{x})}=\lim_{x \to +\infty} e^{-\frac{\ln{x}}{x}}=e^{-\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln{x}}{x}}}\)

\(\displaystyle{ -\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln{x}}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=-\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}=0}\)

ostatecznie \(\displaystyle{ e^0=1}\)

SebastianBs · Post autor: **SebastianBs** » 10 gru 2007, o 21:10

hmmmmm dobra rozumiem już, dzieki za pomoc.