Stwierdzić prawdziwość stwierdzenia
-
Mbach
- Użytkownik
- Posty: 312
- Rejestracja: 3 lis 2004, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: braku inwencji
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 25 razy
Stwierdzić prawdziwość stwierdzenia
Stwierdzić prawdziwość stwierdzenia: Jeśli G jest dowolną grupą skończoną o k elementach oraz \(\displaystyle{ g G}\) to \(\displaystyle{ g^k = e}\)
-
kangurmk
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 19 lut 2007, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Stwierdzić prawdziwość stwierdzenia
Tak, jest to prawda.
Tw 1. Jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą skończoną, to rząd dowolnego jej elementu jest dzielnikiem \(\displaystyle{ |G|}\)
Tw 2. Jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą skończoną rzędu \(\displaystyle{ n}\) (czyli ma \(\displaystyle{ n}\) elementów) i \(\displaystyle{ a G}\), to \(\displaystyle{ a^{n}=e_{G}}\)
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie elementem rzędu \(\displaystyle{ k}\) w skończonej grupie \(\displaystyle{ G}\) i niech \(\displaystyle{ n = |G|}\). Z tw 1 wynika, że \(\displaystyle{ k|n}\), czyli \(\displaystyle{ n = kl}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l N_{+}}\). Stąd \(\displaystyle{ a^{n} = a^{kl} = (a^{k})^{l} = e^{l} = e}\).
Tw 1. Jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą skończoną, to rząd dowolnego jej elementu jest dzielnikiem \(\displaystyle{ |G|}\)
Tw 2. Jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą skończoną rzędu \(\displaystyle{ n}\) (czyli ma \(\displaystyle{ n}\) elementów) i \(\displaystyle{ a G}\), to \(\displaystyle{ a^{n}=e_{G}}\)
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie elementem rzędu \(\displaystyle{ k}\) w skończonej grupie \(\displaystyle{ G}\) i niech \(\displaystyle{ n = |G|}\). Z tw 1 wynika, że \(\displaystyle{ k|n}\), czyli \(\displaystyle{ n = kl}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l N_{+}}\). Stąd \(\displaystyle{ a^{n} = a^{kl} = (a^{k})^{l} = e^{l} = e}\).