Weźmy sobie Z/NZ i teraz niech będzie dany zbiór \(\displaystyle{ G(N)\in Z/NZ}\). I teraz do \(\displaystyle{ G(N)}\) należy \(\displaystyle{ x+NZ}\) gdy \(\displaystyle{ (x, N)=1}\) W \(\displaystyle{ G(N)}\) on określamy działanie mnożenia takie dla \(\displaystyle{ a = x+NZ}\) i \(\displaystyle{ b=y+NZ}\)
\(\displaystyle{ a b = xy + NZ}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ G(N)}\) jest grupą. Teraz pytanie: czy \(\displaystyle{ G(N)}\) jest cykliczna?
[ Dodano: 9 Grudnia 2007, 14:09 ]
Zdaje sie, że sobie poradziłem. Niech ktoś to sprawdzi.
Dla każdego N mamy \(\displaystyle{ (N-1, N) = 1}\)
Jest twierdzenie, które mówi, że grupa jest cykliczna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element, którego rząd jest równy rzędowi grupy. Wykażemy, że rząd \(\displaystyle{ (n-1) + NZ}\) jest równy \(\displaystyle{ \phi (N)}\) czyli rzędow grupy.
Po pierwsze pokażemy, że \(\displaystyle{ [(N-1)+NZ]^{\phi (N)} = e = 1 + NZ}\)
\(\displaystyle{ [(N-1)+NZ]^{\phi (N)} = (N-1)^{\phi (N)} + NZ = [N^{\phi (n)} + {\phi (N) \choose 1}(N)^{\phi (N)}(-1)^{\phi (N) - 1} + s + (-1)^{\phi (N)}]}\)
Jako że \(\displaystyle{ (-1)^{\phi (N)} = 1}\), bo \(\displaystyle{ \phi (N)}\) jest parzyste dla \(\displaystyle{ N \geqslant 3}\) to
\(\displaystyle{ [(N-1)+NZ]^{\phi (N)} = 1 + NZ}\)
teraz wykażemy, że \(\displaystyle{ \phi (N)}\) jest najmniejsza liczbą naturalną dla której spełniona jest powyższa równość.
niech p < phi (n) będzie najmniejszą liczbą naturalną spełniającą równość * \(\displaystyle{ [(N-1)+NZ]^p= 1 + NZ}\)
zatem
\(\displaystyle{ [(N-1)+NZ]^p = 1 + NZ = [(N-1)+NZ]^{\phi (N)}}\)
\(\displaystyle{ [(N-1)+NZ]^{p - \phi (N)} = 1 + NZ}\)
czyli \(\displaystyle{ p - \phi (N) \geqslant p}\) czyli \(\displaystyle{ \phi(N) \leqslant 0}\). sprzeczność
phi(N) jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą *, czyli rząd \(\displaystyle{ (N-1) + NZ}\) jest równy rzędowi grupy i grupa jest cykliczna