Losujemy dwie liczby z ciągu {1,2,...,2n+1}.

[Kukiel]

Z ciągu {1,2,3,...,2n+1} (\(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_+}\)) losujemy jednocześnie 2 liczby. Wskaż wartości dla których prawdopodobieństwo, że suma tych 2 liczb jest nieparzysta jest większe niż 7/13.
Jakoś tak to szło...
Jest to zadanie z dzisiejszej matury próbnej, poziom rozszerzony. Matma skończyła sie o 12.00 więc chyba nie szkodzi, jak ktoś to rozwiąże. Byłbym wdzięczny.

[Undre]

Z ciagu {1,2,3,...,2n+1}

Coś mi tu nie gra. Ciąg rozpoczyna się kolejno od liczb 1,2,3 (różnica między dwoma kolejnymi wyrazami = 1 ) a odstęp między "n"-tym a "n+1"-szym wyrazem to 2. Na pewno tak było ?

[Kukiel]

Nie kminie, 2n+1 oznacza ostatni wyraz ciagu, a zarazem liczbe wyrazow w ciagu, ktora jest nieparzysta. Dla n = 1 {1,2,3} dla n=2 {1,2,3,4,5} ...

[Undre]

aaa, w ten sposob

[ Dodano: 7 Grudnia 2007, 14:23 ]

Niezaleznie od wartosci n w ciagu bedzie zawsze \(\displaystyle{ \lfloor \frac{2n+1}{2} \rfloor}\) wyrazow parzystych oraz \(\displaystyle{ \lceil \frac{2n+1}{2} \rceil}\) nieparzystych

Wylosowac 2 liczby jednoczesnie z calego zbioru mozemy zatem na \(\displaystyle{ V^1_{2n+1} V^1_{2n} = (2n+1)(2n)}\) sposobow.

Suma tych 2 liczb ma byc nieparzysta, a wiec skladajaca sie z liczby parzystej i nieparzystej, mozna to zrealizowac na \(\displaystyle{ V^1_{n+1} V^1_n = n(n+1)}\) sposobow.

Prawdopodobienstwo tego zdarzenia wynosi wiec :

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{n(n+1)}{2n(2n+1)}}\)

Wystarczy sprawdzic dla jakich n to wyrazenie bedzie wieksze od podanej wartosci.
Na oko jednak widac, ze wyrazenie maleje wraz ze wzrostem n, wychodzi mi wiec, ze nie ma takiego n dla ktorego zachodzilaby nierownosc z tresci zadania.

[koboos]

Zauwaz, ze liczb parzystych jest o jeden mniej niz nieparzystych (zbior zaczyna i konczy sie liczbami nieparzystymi). Zatem parzystych jest n, a nieparzystych n+1.
Ja to zadanie zrobilem z drzewka.
Moglby ktos podac wynik? Mi wyszlo: 1

[Undre]

Zauwaz, ze liczb parzystych jest o jeden mniej niz nieparzystych (zbior zaczyna i konczy sie liczbami nieparzystymi).

Nie wiem czy widac, ale dokladnie o tym mowi u mnie pierwsze zdanie

\(\displaystyle{ \lfloor \frac{2n+1}{2} \rfloor = \lfloor n + \frac{1}{2} \rfloor = n}\)

Jak na razie trzymam sie swojej wersji. Dla n=2 mamy zbior {1,2,3,4,5}, z czego losowanie 2 liczb jednoczesnie mozna wykonac na 5*4 sposobow, zas nieparzysta suma to wylosowanie jednej liczby z podzbioru {1,3,5} oraz jednej liczby z podzbioru {2,4} co daje nam 3*2 mozliwosci, zatem prawdopodobienstwo wynosi 6/20 i nie jest wieksze od 7/13. Skad wiec 1

[LecHu :)]

Można też wylosować te liczby w innej kolejności. Mi tez wyszło, że n

[koboos]

Z drzewka mi wyszlo n

[Undre]

Dobrze.

Pytanie gdzie zrobilem blad. Malo prawdopodobnym wydaje mi sie, by na maturze dawali zadania z takimi rozwiazaniami. Tymczasem gapie sie w swoje wywody i za Chiny nie widze co spartaczylem Niby podejscie z wybraniem po jednej liczbie z zakresu parzystych i nieparzystych zawodzi ... ale czy wezme kombinacje czy wariancje wyjdzie na to samo

[Kukiel]

cholerka, a ja durny domknalem przedzial i 6tka mi weszla :/ punkt mniej
czyli powinien wyjsc zbior elementow {1,2,3,4,5} ?

[koboos]

Mi wlasnie taki zbior wyszedl.

Undre: 3*2 powinienes pomnozyc jeszcze przez 2. Bo raz losujesz tak, ze pierwsza jest nieparzysta, a druga mozliwosc to ze pierwsza jest parzysta. Moge sie mylic.

[LecHu :)]

Ja liczyłem prawdopodobieństwo wylosowania parzystej w pierwszym losowaniu w drugim losowaniu nieparzystej i iloczyn jako, że są niezależne i drugi raz tylko na odwrót i wziąłem sumę. Prawdopodobieństwo wychodzi wtedy 2 razy większe niż u ciebie Undre.

[Undre]

Aha, juz widze gdzie zjadlem fragment rozumowania. Luz

[wojciszek]

Ja liczylem na zdarzenia przeciwne, P(A)=1-P(A');
\(\displaystyle{ \overline{\Omega}={2n+1\choose 2}=\frac{2n(2n+1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ \overline{A'}={n\choose 2}+{n+1\choose 2}=\frac{n(n-1)+n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}-n+n^{2}+n}{2}=n^{2}}\)
\(\displaystyle{ P(\overline{A'})=\frac{n^{2}}{n(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}}\) \(\displaystyle{ P(A)=\frac{2n+1-n}{2n+1}=\frac{n+1}{2n+1}}\)
\(\displaystyle{ P(A)>\frac{7}{13}}\), podstawiajac P(A) otrzymamy: \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n+1}>\frac{7}{13}}\) \(\displaystyle{ 13n+13>14n+7}\)->\(\displaystyle{ n}\)

\(\displaystyle{ n\in{1,2,3,4,5}}\)

[Mariusz123]

\(\displaystyle{ \overline{A'}={n\choose 2}+{n+1\choose 2}=\frac{n(n-1)+n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}-n+n^{2}+n}{2}=n^{2}}\)

Mógłbym dowiedzieć się od was co oznaczają te obydwa pierwsze nawiasy ?

i dlaczego później trzeba napisać liczbę poprzedzającą \(\displaystyle{ n}\) czyli \(\displaystyle{ n-1}\) , a następnie liczbę poprzedzającą \(\displaystyle{ n + 1}\) czyli \(\displaystyle{ n}\) .
Wytłumaczy mi ktoś ?