Obliczyć granicę

adek · Post autor: **adek** » 4 gru 2007, o 22:01

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (sin(x))^\frac {1}{x}}\)

Ambrose · Post autor: **Ambrose** » 4 gru 2007, o 22:57

wydaje mi się, że trzeba tutaj skorzystać z granicy typu e, aby móc to zrobić, trzeba rzecz jasna wcześniej odpowiednio całość przekształcić:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (sin(x))^\frac {1}{x}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } ( \sqrt{1-cos ^{2}(x) } ) ^{ \frac{1}{x} }}\) = \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }[1-cos ^{2}(x)] ^{ \frac{1}{2}x }}\) = \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }[1+(-cos ^{2}(x))] ^{ \frac{1}{-cos ^{2}x } (-cos ^{2}x) \frac{1}{2x} }}\) = \(\displaystyle{ e ^{ \lim_{ x\to0 } \frac{-cosx cosx}{x x} }}\)= \(\displaystyle{ e ^{-1}}\)

Na moje skromne oko tak to mniej więcej będzie =]. Mam nadzieję, że trochę rozjaśniłem mroki niewiedzy.

Doktor · Post autor: **Doktor** » 5 gru 2007, o 12:58

nie rozumiem ostaniego przeszkształcenia ? mi się zdaje ze prawostronna jest 0 a lewostronna nie istnieje

Ambrose · Post autor: **Ambrose** » 6 gru 2007, o 01:10

Doktor pisze:nie rozumiem ostaniego przeszkształcenia ? mi się zdaje ze prawostronna jest 0 a lewostronna nie istnieje

Mamy granicę

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{-cos ^{2} x}{x ^{2} }}\)którą możemy rozpisać jako\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{-cosx cosx}{x x}}\)czyli \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{-1 cosx}{x} \frac{cosx}{x}}\), wiadomo, że granica \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{cosx}{x}}\)wynosi 1, stąd otrzymujemy -1 * 1 czyli -1

Post autor: **Lorek** » 6 gru 2007, o 17:42

Ambrose pisze:że granica \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{cosx}{x}}\)wynosi 1, stąd otrzymujemy -1 * 1 czyli -1

\(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\) to nie jest 1