Zbieżności szeregów i granice Ciagów studia techniczne

[Basiek]

Witam mam problem z takiemi szeregami i granicami ciągów a jutro mam z nich kolosa. Bede dozgonnie wdzieczny jesli komus uda sie je rozwiązac pozdrawiam

Zbadać zbieżność szeregów

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ }\frac{sinx^{n}}{n^{2}}}\)

3. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ }\frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}}\)

4. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ }(\frac{n}{2n^{n}})^{n}}\)

5. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ }\frac{n!}{2^{n}lnn!}}\)

6. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ }\frac{n^{2}}{(2+\frac{1}{n})^{n}}}\)

Oblicz Granice ciągów

1. \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{n}{e^{1+\frac{1}{2}+...\frac{1}{n}}}}\)

2. \(\displaystyle{ a_{n}=n^{3}(\sqrt{n^{2}\sqrt{n^{4}+1}}-n\sqrt{2}}})}\)

3. \(\displaystyle{ a_{n}=(\frac{3n-1}{3n+1})^{n+4}}\)

[klaustrofob]

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}}\) robieżny - z kryterium porównawczego z szeregiem harmonicznym: \(\displaystyle{ \frac{\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}}{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}}\to_{n\to\infty} 1}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{sinx^{n}}{n^{2}}}\) bezwzględnie zbieżny - \(\displaystyle{ |\frac{sinx^{n}}{n^{2}}|\leqslant\frac{1}{n^2}}\) - kryt. por.

3. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}}\) - kryt. d'Alemberta \(\displaystyle{ \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}:\frac{((n+1)!)^{2}}{2^{(n+1)^{2}}}=\frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}\cdot\frac{2^{(n^2+2n+1)}}{(n!)^2(n+1)^2}=\frac{2^{2n+1}}{(n+1)^2}\to_{n\to\infty}\infty}\) - rozbieżny

4. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{2n^{n}})^{n}}\) - zbieżny, kryterium Cauchy'ego: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{(\frac{n}{2n^{n}})^{n}}=\frac{n}{2n^n}\to_{n\to\infty}0}\)

5. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^{n}lnn!}}\) -kryt. d'Alemberta: \(\displaystyle{ \frac{n!}{2^{n}lnn!}:\frac{(n+1)!}{2^{n+1}ln(n+1)!}=}\)\(\displaystyle{ \frac{n!}{2^{n}lnn!}\cdot\frac{2^{n+1}ln(n+1)!}{(n+1)!}=\frac{2}{n+1}\cdot\frac{ln(n+1)!}{lnn!}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{n+1}\cdot\frac{lnn!+ln(n+1)}{lnn!}=\frac{2}{n+1}\cdot(1+\frac{ln(n+1)}{lnn!})}\) - pierwszy czynnik dąży do zera, drugi do 1 (a przynajmniej jest ograniczony). całość do zera, zatem szereg jest zbieżny

6. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{(2+\frac{1}{n})^{n}}}\) - zbieżny, kryt. Cauchy'ego: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{n^{2}}{(2+\frac{1}{n})^{n}}}=\frac{\sqrt[n]{n^2}}{2+1/n}\to_{n\to\infty}1/2}\)

Granice ciągów
1. niech \(\displaystyle{ H_n=\sum_1^n \frac{1}{k}}\); wiadomo, że \(\displaystyle{ \lim H_n-lnn=\gamma}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) jest stałą Eulera (). stąd
\(\displaystyle{ \lim \frac{n}{e^{1+\frac{1}{2}+...\frac{1}{n}}}=\lim \frac{e^{lnn}}{e^{1+\frac{1}{2}+...\frac{1}{n}}}=\lim \frac{1}{e^{H_n-ln}}=\frac{1}{e^{\gamma}}=e^{-\gamma}}\)

3. \(\displaystyle{ (\frac{3n-1}{3n+1})^{n+4}=((1-\frac{2}{3n+1})^{3n+1})^{\frac{n+4}{3n+1}}\to_{n\to\infty} (e^{-2})^{1/3}=e^{-2/3}}\)

[sparrow_88]

sporo tego;] więc tylko w części pomogę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ft (\frac{3n-1}{3n+1}\right)^{n+4}= \lim_{n\to\infty} ft(\frac{3n+1-2}{3n+1}\right)^{n+4}= \lim_{n\to\infty} ft( 1-\frac{2}{3n+1}\right)^{n+4}= \lim_{n\to\infty} ft (1+\frac{1}{-\frac{1}{2}(3n+1)}\right)^{n+4}=\lim_{n\to\infty} ft (1+\frac{1}{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{n+4}=\lim_{n\to\infty} ft (1+\frac{1}{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{(-\frac{2}{3})(-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2})+3\frac{2}{3}}=\lim_{n\to\infty} ft(\left (1+\frac{1}{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{2}{3}}}^{+3\frac{2}{3}}=e^{-\frac{2}{3}}{\lim_{n\to\infty} ft (1+\frac{1}{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{3\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{e^2}}}\)

ostatnia granica dąży do 1, mam nadzieję że to widać

[ Dodano: 3 Grudnia 2007, 13:51 ]
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\ }n^3\left(\sqrt{n^2\sqrt{n^4+1}}-n\sqrt{2}\right)= \lim_{n \to\ }\frac{n^3\left(n^2\sqrt{n^4+1}+2n^2\right)}{\sqrt{n^2\sqrt{n^4+1}}+n\sqrt{2}} = \lim_{n\to\ }\frac{n^3\left(n^2\sqrt{n^4+1}+2n^2\right)}{\sqrt{n^4\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}+n\sqrt{2}}
=\lim_{n\to\ }\frac{n^3\left(n^2\sqrt{n^4+1}+2n^2\right)}{n^2\left(\sqrt{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}+\frac{\sqrt{2}}{n}\right)}
=\lim_{n\to\ }\frac{n\left(n^2\sqrt{n^4+1}+2n^2\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}+\frac{\sqrt{2}}{n}\right)}
=\left[\frac{ + }{\sqrt{\sqrt{1+0}}+0}\right]=\left[\frac{ }{1}\right]= }\)

co do objaśnień to przekształcenia były konieczne bo na początku mieliśmy symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \infty - }\) a w nawiasach [ ] są operacje na wartościach poszczególnych granic ;] wg mnie jest to poprawne rozwiązanie

[Piotrek89]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ft (\frac{3n-1}{3n+1}\right)^{n+4}= \lim_{n\to\infty} ft(\frac{3n+1-2}{3n+1}\right)^{n+4}= \lim_{n\to\infty} ft( 1-\frac{2}{3n+1}\right)^{n+4}= \lim_{n\to\infty} ft (1+\frac{1}{-\frac{1}{2}(3n+1)}\right)^{n+4}=\lim_{n\to\infty} ft (1+\frac{1}{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{n+4}=\lim_{n\to\infty} ft (1+\frac{1}{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{(-\frac{2}{3})(-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2})+3\frac{2}{3}}=\lim_{n\to\infty} ft(\left (1+\frac{1}{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{2}{3}}}^{+3\frac{2}{3}}=e^{-\frac{2}{3}}{\lim_{n\to\infty} ft (1+\frac{1}{-\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}\right)^{3\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{e^2}}}\)

tutaj jest coś namieszane chyba.... mi wychodzi \(\displaystyle{ e^{-\frac{2}{3}}}\)

[klaustrofob]

czyli wszystko się zgadza, "e do minus 2/3". sparrow_88 - nie wolno pisać tak, jak napisałeś w przykładzie z e w przejściu między przedostatnią a ostatnią równością, gdy w części wyrażenia przechodzisz do granicy, a w części - z tym samym n (!) - nie.

[Basiek]

Dzieki wielkie uratowaliście mnie przed jutrzejszym kolosem jeszcze raz dziekuje i pozdrawiam

[sparrow_88]

No masz racje, ja potraktowałem e jako stałą, a przecież jest granicą. TYLKO STAŁE MOŻEMY WYŁĄCZYĆ PRZED ZNAK GRANICY!!! t