Granica ciągu i granica z tw o 3 ciągach

[staszekzorawy]

Proszę o pomoc w obliczeniu granicy
1)
\(\displaystyle{ lim_{ n\to\infty } \frac{a_n_+_1} {a_n}}\)
dla \(\displaystyle{ a_n=\frac{(2n)!}{n^2^n}}\)

2)z tw o granicy 3 ciągów

\(\displaystyle{ a_n=n^3(\sqrt{n^2+n^4+1}-\sqrt{2n}}\)
Dzięki za pomoc

[Grzegorz t]

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^{2n}\cdot (2n+1)\cdot(2n+2)}{(n+1)^2\cdot (n+1)^{2n}}}\)
zatem \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+1)\cdot (2n+2)}{(n+1)^2}\cdot \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}=4\cdot(\frac{n}{n+1})^{2n}=4\cdot\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{2n}}=\frac{4}{e^2}}\)

[staszekzorawy]

Dzięki a jak rozwiązać to drugię? Chodzi o obliczenie granicy tego ciągu stosując twierdzenie o 3 ciągach.

[Grzegorz t]

Myślałem, że z drugim przykładem poradzisz sobie, bo zauważ, że na przykład

\(\displaystyle{ \sqrt{n^4}-2n qslant \sqrt{n^4+n^2+1}-\sqrt{2n} qslant \sqrt{3n^4}}\)
dwa skrajne ciągi dążą do \(\displaystyle{ \infty}\), zatem również z twierdzenia o trzech ciągach, też środkowy ciąg dąży do \(\displaystyle{ \infty}\).

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty }n^3\cdot (\sqrt{n^4+n^2+1}-\sqrt{2n})=\infty\cdot\infty=\infty}\)

[staszekzorawy]

Dzięki serdeczne za pomoc.