nierwonosc bernoulliego

[bartek1965]

Jak udowodnic nierownosc bernoulliego za pomoca pochodnych?

[andkom]

Dla ustalonego n rozważ funkcję \(\displaystyle{ f:(-1,\infty)\to\mathbb R}\) daną wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=(1+x)^n-1-nx}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ f'(x)=n[(1+x)^{n-1}-1]}\)
a to jest dodatnie dla x>0 i ujemne dla -1

[bartek1965]

Dzieki.
W miedzyczasie pomyslalem ze moznaby to rozwiazac z tw. Lagranga

Ustalilem funkcje \(\displaystyle{ f(t)=(1+t)^{n}}\), dla \(\displaystyle{ t (0,x)}\)

z tw. Lagranga

\(\displaystyle{ \frac {f(x)-f(0)}{x-0}=f^{'}(c)}\), dla \(\displaystyle{ c (0,x)}\)

\(\displaystyle{ \frac {(1+x)^{n}-1}{x}=n(1+c)^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ (1+x)^{n}=1+nx(1+c)^{n-1} qslant 1+nx(1+0)^{n-1}=1+nx}\)