wykaż że zbiory maja alef zero
A - zbiór odwrotności liczb naturalnych
AxB - jeśli A i B są zbiorami przeliczalnymi
wykaż że zbiory maja alef zero
-
UNIX_admin
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 6 maja 2006, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 32 razy
wykaż że zbiory maja alef zero
zakladam, ze 0 nie jest liczna naturalna (ale nie ma to znaczenia)
odwrotnosci liczb naturalnych jest tyle ile liczb naturalnych, to dosc intuicyjne, latwo pokazac funkcje przyporzatkowujaca kazdej liczbie naturalnej jej odwrotnosc. Wynika z tego, ze licznowsc zbioru odwrotnosci jest rowna \(\displaystyle{ \aleph}\).
Co do iloczynu kartezjnskiego, to mozna powiedziec, ze licznosc takiego zbioru jest rowna licznosci zbioru liczb wymiernych (w przypadku gdy moce zbiorow A i B sa mniejsze lub rowne mocy zbioru liczb naturalnych, a z warunku przeliczalnosci wynika, iz w istocie tak jest), a tych jest \(\displaystyle{ \aleph}\).
Udowodnic to mozna w nastepujacy sposob:
zbudujmy macierz M o wymiarach |A| x |B|
oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_{0}, a_{1}, ...}\) elementy zbioru A
i analogicznie przez \(\displaystyle{ b_{0}, b_{1}, ...}\) elementy zbioru B
oba zbiory uporzatkujmy tak, zeby elementy o mniejszym indeksie mialy niewieksza wartosc od elementow o indeksie wiekszym (czyli rosnaco)
macierz zbudujmy tak, zeby element \(\displaystyle{ m_{ij}}\) mialy wartosc \(\displaystyle{ \frac{a_{i}}{b_{j}}}\)
teraz odczytajmy elementy macierzy poczawszy od "lewego gornego rogu" poprzez kolejne lezace na kolejnych przekatnych przesuwajac sie ku prawemu dolnemu naroznikowi. (wiem, ze to nie matematyczne wyjasneinie, ale chyba wiamomo o co chodzi). jesli wartosci zbiorow A i B sa liczbami, to moze sie zdazyc, ze kilka ewementow macierzy bedzie mialo te sama wartosc, wowczas wystarczy wybrac jeden z tych elementow.
uzyskamy w ten sposob uporzatkowany ciag wartosci, ktory jest rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (latwo pokazac odpowiednai funkcje), a co z tego wynika moc AxB wynosi \(\displaystyle{ \aleph}\).
oczywiscie trzeba zalozyc, ze przynajmniej jeden ze zbiorow A lub B jest nieskonczony, bo w przeciwnym przypadku moc AxB bedzie mniejsza od \(\displaystyle{ \aleph}\).
PS. jesli ktos chce formalny (zapisany jezykiem matematycznym) dowod, to prosze pisac.
odwrotnosci liczb naturalnych jest tyle ile liczb naturalnych, to dosc intuicyjne, latwo pokazac funkcje przyporzatkowujaca kazdej liczbie naturalnej jej odwrotnosc. Wynika z tego, ze licznowsc zbioru odwrotnosci jest rowna \(\displaystyle{ \aleph}\).
Co do iloczynu kartezjnskiego, to mozna powiedziec, ze licznosc takiego zbioru jest rowna licznosci zbioru liczb wymiernych (w przypadku gdy moce zbiorow A i B sa mniejsze lub rowne mocy zbioru liczb naturalnych, a z warunku przeliczalnosci wynika, iz w istocie tak jest), a tych jest \(\displaystyle{ \aleph}\).
Udowodnic to mozna w nastepujacy sposob:
zbudujmy macierz M o wymiarach |A| x |B|
oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_{0}, a_{1}, ...}\) elementy zbioru A
i analogicznie przez \(\displaystyle{ b_{0}, b_{1}, ...}\) elementy zbioru B
oba zbiory uporzatkujmy tak, zeby elementy o mniejszym indeksie mialy niewieksza wartosc od elementow o indeksie wiekszym (czyli rosnaco)
macierz zbudujmy tak, zeby element \(\displaystyle{ m_{ij}}\) mialy wartosc \(\displaystyle{ \frac{a_{i}}{b_{j}}}\)
teraz odczytajmy elementy macierzy poczawszy od "lewego gornego rogu" poprzez kolejne lezace na kolejnych przekatnych przesuwajac sie ku prawemu dolnemu naroznikowi. (wiem, ze to nie matematyczne wyjasneinie, ale chyba wiamomo o co chodzi). jesli wartosci zbiorow A i B sa liczbami, to moze sie zdazyc, ze kilka ewementow macierzy bedzie mialo te sama wartosc, wowczas wystarczy wybrac jeden z tych elementow.
uzyskamy w ten sposob uporzatkowany ciag wartosci, ktory jest rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (latwo pokazac odpowiednai funkcje), a co z tego wynika moc AxB wynosi \(\displaystyle{ \aleph}\).
oczywiscie trzeba zalozyc, ze przynajmniej jeden ze zbiorow A lub B jest nieskonczony, bo w przeciwnym przypadku moc AxB bedzie mniejsza od \(\displaystyle{ \aleph}\).
PS. jesli ktos chce formalny (zapisany jezykiem matematycznym) dowod, to prosze pisac.