Najmniejsza wspólna wielokrotność-dowód.

[hUmanitO]

Rozwiazalem to zadanie, chyba.... No i wlasnie nie jestem pewien czy to jest dobrze i wystarczajaco duzo. Oto zadanie:

Udowodnij, ze najmniejsza wspolna wielokrotnosc \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1<a_2<a_3<...<a_n}\) jest nie mniejsza od \(\displaystyle{ n \cdot a_1}\).

Rozwiazanie:

Jesli \(\displaystyle{ a_1< a_n}\)

to
\(\displaystyle{ a_1 + d = a_n, d\in\NN\\
a_1 + n - 1\le a_n\\
a_1 + n - 1\le a_1 + d\\
n - 1\le d}\)
(no a to jest oczywiscie prawda i nie wiem czy to tez mam jakos udowodnic, czy co z tym zrobic ?)
Dodam na koncu tylko ze wyzej podstawilem pod \(\displaystyle{ NWW = a_n}\) nie wiem czy to dobre rozwiazanie, ale pomyslalem ze jezeli najmniejsze mozliwe NWW czyli argument an zawsze bedzie spelnial warunek zadania to tyle wystarczy.

c.n.d.
powiedzcie czy dobrze jak nie to napiszcie jak powinno byc dzieki

[_el_doopa]

co ty w ogóle udowadniasz?

po pijaku to pisałeś, czy co?

masz tu dowód indukcyjny:

1) \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ NWW(a_1,a_2)=\frac{a_1 \cdot a_2}{NWD(a_1,a_2)}\ge \frac{a_1 \cdot a_2}{\frac{a_2}{2}}=2 \cdot a_1}\)
bo
\(\displaystyle{ NWD(a_1,a_2)\ge \frac{a_2}{2}}\)

2) załóżmy że działa dla \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ nww(a_1,....,a_{n+1})=nww(a_1,nww(a_2,....a_{n+1}) )=x}\)

z założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ nww(a_2,....a_{n+1})\ge n \cdot a_2>n \cdot a_1}\)
\(\displaystyle{ x}\) musi być podzielne przez \(\displaystyle{ nww(a_2,....a_{n+1})}\) stad \(\displaystyle{ x>n \cdot a_1}\)
\(\displaystyle{ x}\) musi byc podzielne przez \(\displaystyle{ a_1}\) stad i z powyzszego \(\displaystyle{ x\ge (n+1) \cdot a_1}\)

koniec dowodu.

[hUmanitO]

czlowieku ja pierwsy raz slysze o czyms takim jak dowod indukcyjny. Jestem dopiero w I klasnie liceum i zaczynam sie dopiero matmy uczyc, qppilem sobie zbior zadan olimpijskich i niektore mi sie udaje robic ale z tym mialem problem i wymyslilem takie rozwiazanie, spodziewalem sie ze moze byc zle, ale no coz... Nie wiedzialem ze jest az tak zle

co ty wogóle udowadniasz?

po pijaku to pisałeś, czy co?

ide sie zastrzelic...

[Tomasz Rużycki]

Pisz tematy w odpowiednich działach....

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Yavien]

hUmanitO, nie strzelaj. Cieszę się, że chcesz coś robić. Tylko, że tym razem akurat niezbyt wyszło, wykazałeś, istotnie, że \(\displaystyle{ n - 1\le d}\), ale jak z tego ma wyjść, że \(\displaystyle{ NWW(a_1,...,a_n) \geq n \cdot a_1}\)?
Indukcja matematyczna jest bardzo prostą, a przydatną maszynką, którą można używać do bardzo wyrafinowanych czasem twierdzeń. Poczytaj o niej, będzie Ci się przydawać nie tylko do zadań olimpijskich. To zadanie mozna zrobić indukcyjnie (mniej więcej, jak ci _el_doopa napisał), ale chyba można też inaczej. Tak mi się coś majaczy, choć na szybko nie znajduję o tej porze

_el_doopa, regulamin, punkt pierwszy, podpunkt piąty: kazdy ma prawo do niewiedzy... poczytaj i zapamiętaj, proszę. Poza tym popraw swojego "dowoda", bo jest, łagodnie mówiąc, niezbyt ścisły. Jeśli już się mamy przyczepiać

Tomasz A tak z ciekawości, gdzie był ten post? jeśli w olimpijskich, to chyba ok? Jeśli gdzie indziej, to dobrze, że czuwasz

[Tomasz Rużycki]

Yavien: Był w "Równaniach i nierównościach"

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[hUmanitO]

bylem pewien ze wstawilem do podzielnosci, sory ze moderator musial sie nameczyc przeze mnie poczytam sobie o indukcji troche juz zaczymam...

[Poszukujaca]

Według mnie w dowodzie podanym przez _el_doopa, jest błąd, gdyż \(\displaystyle{ NWD (a_{1},a_{2}) \le \frac{a_{2}}{2}}\).

[Jan Kraszewski]

Według mnie w dowodzie podanym przez _el_doopa, jest błąd, gdyż \(\displaystyle{ NWD (a_{1},a_{2}) \le \frac{a_{2}}{2}}\).

Ten warunek został zapisany błędnie, ale wykorzystany poprawnie - w tej wersji, którą Ty podałaś.

JK