Całka podwójna

[intel86]

\(\displaystyle{ \iint_{D}\cos(x+y)dxdy}\) gdzie \(\displaystyle{ D: \left\{\begin{array}{l} y=2x\\x=0\\y=\pi \end{array}\right.}\)

[scyth]

x zmienia się od 0 do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
y zmienia się od 2x do \(\displaystyle{ \pi}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_{2x}^{\pi} \cos(x+y) dy dx =
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} [\sin(x+y)]_{2x}^{\pi} dx =
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} [\sin(x+\pi)-sin(x+2x)] dx =\\=
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} [-\sin(x)-sin(3x)] dx =\left[\cos(x)+\frac{1}{3}\cos(3x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}
=-1-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}}\)

[intel86]

mam małe problemy z tymi granicami całkowania. Skąd granica przy x \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

[scyth]

skoro \(\displaystyle{ y=\pi, \ y=2x}\) to liczymy:
\(\displaystyle{ \pi=2x \ x=\frac{\pi}{2}}\)