Równania różniczkowe

[intel86]

a)\(\displaystyle{ 3x^{2}e^{y}dx+(x^{3}e^{y}-1)dy=0}\)

b)\(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x}=\frac{1}{x}}\)

c)\(\displaystyle{ y"+9y=2}\), przy warunkach początkowych \(\displaystyle{ y(0)=-1, y'(0)=1}\)

d)\(\displaystyle{ 4xy"=y'}\)

Za pomoc z góry dzięki

[abrasax]

a) \(\displaystyle{ 3x^{2}e^{y}dx+(x^{3}e^{3}-1)dy=0}\)

nie powinno być przypadkiem \(\displaystyle{ x^3e^y}\) zamiast \(\displaystyle{ x^3e^3}\) ?

b) równanie jednorodne - rozdzielenie zmiennych
\(\displaystyle{ y'=-\frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=- t \frac{dx}{x}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{C}{x}}\)

równanie niejednorodne - uzmiennianie stałej
\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{C(x)}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{C'(x)}{x}=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ C(x)=x+C_1}\)

ostatecznie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=\frac{x+C_1}{x}=\frac{C_1}{x}+1}\)

[luka52]

d) podst. p = y'.

a) jest to r. zupełne. Oznaczamy
\(\displaystyle{ P(x,y) = 3x^2 e^y, \quad Q(x,y) = x^3 e^y - 1}\)
Lewa strona równania jest różniczką zupełną pewnej funkcji F i zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial x} = P(x,y), \quad \frac{\partial F}{\partial y} = Q(x,y)\\
F = \int P(x,y) \, \partial x = \int 3x^2 e^y \, \partial x = x^3 e^y + \varphi (y)\\
\frac{\partial F}{\partial y} = x^3 e^y + \varphi ' (y) \equiv x^3 e^y - 1 \Rightarrow \varphi ' (y) = -1\\
\varphi (y) = -y}\)
i ostatecznie rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ x^3 e^y - y = C}\)

[intel86]

Nawet czaje a jak sie najlepiej zabrać za b??

[abrasax]

c) 1. rozwiązujemy równanie jednorodne \(\displaystyle{ y''+9y=0}\)
korzystamy z równania charakterystycznego:
\(\displaystyle{ t^2+9=0}\)
\(\displaystyle{ t_1=3i=\alpha +\beta x}\)
\(\displaystyle{ t_2=-3i}\)
rozwiązania:
\(\displaystyle{ y_1=e^{\alpha x}cos(\beta x)=cos3x}\)
\(\displaystyle{ y_1=e^{\alpha x}sin(\beta x)=sin3x}\)

rozwiązanie ogólne równania:
\(\displaystyle{ y_2=C_1y_1+C_2y_2=C_1cos3x+C_2sin3x}\)

2. równanie niejednorodne \(\displaystyle{ y''+9y=2}\)- metoda przewidywań
ponieważ po prawej stronie równania występuje wielomian stopnia 0, to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania w postaci:
\(\displaystyle{ y_3=a}\)
\(\displaystyle{ y_3''=0}\)
podstawiamy do równania niejednorodnego i obliczamy stałą a:
\(\displaystyle{ 9a=2}\)

rozwiązanie szczególne:
\(\displaystyle{ y_3=\frac{2}{9}}\)

3. rozwiązanie równania składa się z sumy rozwiązania ogólnego i szczegółowego
\(\displaystyle{ y=C_1cos3x+C_2sin3x+\frac{2}{9}}\)

4. uwzględniając warunki początkowe należy wyznaczyć wartości stałych \(\displaystyle{ C_1, \ C_2}\)

[zmorek]

W jaki sposób należy uwzględnić warunki początkowe, aby wyznaczyć \(\displaystyle{ C_{1} ,C _{2}}\) . Tzn gdzie i jak to podstawić. Z góry dzieki za pomoc.

[abrasax]

\(\displaystyle{ y=C_1cos3x+C_2sin3x+\frac{2}{9}}\)

1. \(\displaystyle{ y(0)=-1}\)
\(\displaystyle{ y(0)=C_1cos0+C_2sin0+\frac{2}{9}=C_1+\frac{2}{9}}\)
\(\displaystyle{ C_1+\frac{2}{9}=-1}\)
\(\displaystyle{ C_1=-1\frac{2}{9}}\)

2. \(\displaystyle{ y'(0)=1}\)
\(\displaystyle{ y'(x)=-3C_1sin3x+3C_2cos3x+\frac{2}{9}}\)
\(\displaystyle{ y'(0)=-3C_1sin0+3C_2cos0+\frac{2}{9}=3C_2+\frac{2}{9}}\)
\(\displaystyle{ 3C_2+\frac{2}{9}=1}\)
\(\displaystyle{ C_2=\frac{7}{27}}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=-1\frac{2}{9}cos3x+\frac{7}{27}sin3x+\frac{2}{9}}\)