Specyficzna całka oznaczona

[thorgal0]

Witam, mam problem z takim oto zagadnieniem:

Dla danego \(\displaystyle{ \epsilon}\) wyznaczyć takie \(\displaystyle{ r}\), że
\(\displaystyle{ \int_{r}^{\infty}e^{-x^{2}} qslant \epsilon}\)

To \(\displaystyle{ r}\) potrzebne mi jest do całkowania numerycznego złożoną kwadraturą trapezów.
Konkretnie do przybliżonego wyliczenia:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}f(x) }\)

W przypadku, gdyby zamiast \(\displaystyle{ e^{-x^{2}}}\) było \(\displaystyle{ e^{-x}}\) zadanie to jest proste, ale z moim przypadkiem mam problemy.

Z góry serdecznie dziękuję za pomoc.

Nie stosuj formuł matematycznych w nazwach tematów.
luka52

[Hamster]

\(\displaystyle{ \iint{e^{{-x^2}-{y^2}}}dxdy [-R,R]x[-R,R]}\)=

\(\displaystyle{ \int_{-R}^{R}e^{-x^2}dx\cdot\int_{-R}^{R}e^{-y^2}dy}\)=\(\displaystyle{ \int_{-R}^{R}(e^{-x^2})^2dx}\)

\(\displaystyle{ R->\infty}\)

Teraz skorzystamy z biegunowych:

\(\displaystyle{ \iint{e^{-x^2-y^2}}dxdy}\) {\(\displaystyle{ (x,y)x^2+y^2\leqslant{R^2}}\)}=
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int_{0}^{R}e^{-\varrho^2}{\varrho}d\varrho}\)=
\(\displaystyle{ t=\varrho^2}\)
=\(\displaystyle{ 2\pi\int_{0}^{R^2}e^{-t}\cdot\frac{1}{2}dt=\pi(-e^{-t})}\) od 0 do \(\displaystyle{ R^2}\)
=
\(\displaystyle{ \pi(-e^{-R^2}+1)}\) Pamiętając ,że \(\displaystyle{ R->\infty}\)=\(\displaystyle{ \pi}\).

A wynik masz na dole

[thorgal0]

Dzięki wielkie za pomoc ale nie bardzo rozumiem ten sposób rozwiązania Może dlatego, że nie mieliśmy na analizie tych współrzędnych biegunowych. Ale mniejsza o sposób rozwiązania tej całki bo to tak naprawdę nie jest mi potrzebne. Czy mógłbyś podać wzór na \(\displaystyle{ r}\) w zależności od \(\displaystyle{ \epsilon}\)?

Z góry wielkie dzięki.

[bolo]

\(\displaystyle{ \int_{r}^{\infty}e^{-x^{2}}\mbox{d}x=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\mbox{d}x-\int_{0}^{r}e^{-x^{2}}\mbox{d}x=\\=\frac{\sqrt{\pi}}{2}-\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mbox{erf}{(r)}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\)

Więcej na temat funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\mbox{erf}{(x)}}\) (funkcji błędu) tutaj:

[thorgal0]

Dzięki, widzę, że nie jest to takie proste.
Czyli nie obliczę tego \(\displaystyle{ r}\) jakimś prostym wzorem?
A może znacie jakiś prosty sposób wyliczenia tego \(\displaystyle{ r}\) korzystając z możliwości języka C++ ?

[ Dodano: 19 Listopada 2007, 08:54 ]
Pozwolę sobie odświeżyć temat. Czy ktoś może zna jakieś proste rozwiązanie wyznaczania \(\displaystyle{ r}\)? Nic więcej mi nie potrzeba.

Pozdrawiam.