Zbadać zbieżność szeregu

[raidmaster]

Zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{(-1)^{n}}{nlogn}}\)

[andkom]

Szereg jest zbieżny (kryterium Leibniza), ale nie jest zbieżny bezwzględnie (można to pokazać na przykład korzystając z kryterium całkowego).

[raidmaster]

A zakładając, że nie znam jeszcze kryterium całkowego, jak można udowodnić że nie jest zbieżny bezwzględnie?

[andkom]

Nie ma znaczenia, jaka jest podstawa logarytmu (bo zmiana podstawy to kwestia pomnożenia przez niezerową stałą, a to nie wpływa na zbieżność), więc zakładam, że podstawa wynosi 2
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac1{n\log n}
=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=2^k}}^{2^{k+1}-1}\frac1{n\log n}
qslant\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=2^k}}^{2^{k+1}-1}\frac1{2^{k+1}(k+1)}=\\
=\sum_{k=1}^\infty2^k\cdot\frac1{2^{k+1}(k+1)}
=\sum_{k=1}^\infty\frac1{2(k+1)}=\infty}\)