Pochodna, monotoniczność i ekstrema lok.

[rundak]

Pomóżcie rozwazać:

a) \(\displaystyle{ \frac{2x-3}{x+2}}\)

b) \(\displaystyle{ \ln (x^2+1)}\)

c) \(\displaystyle{ x^2-2 \ln x}\)

d) \(\displaystyle{ x^2 e^{-3x}}\)

e) \(\displaystyle{ x e^{-x}}\)


Z góry dziekuje!!

Pamiętaj o tagach

Kod: Zaznacz cały

[tex]...[/tex]

luka52[/i][/color]

[Szemek]

a)
\(\displaystyle{ \left( \frac{2x-3}{x+2} \right)' = ft( \frac{2x+4-7}{x+2} \right)' = ft(2 + \frac{-7}{x+2} \right)' = ft(\frac{-7}{x+2} \right)'=\frac{7}{(x+2)^2}}\)

[natkoza]

b)
\(\displaystyle{ f(x)=ln(x^{2}+1)\\
f'(x)=(ln(x^{2}+1))'\cdot (x^{2}+1)'=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2=\frac{2}{x^{2}+1}}\)
c)
\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}-2lnx\\
f'(x)=(x^{2})'-(2lnx)'=2x-(-\frac{2}{x})=2x+\frac{2}{x}}\)
w celu zbadania monotoniczności i istnienia ekstremów badasz znak pochodnej, czyli rozwiązujesz nierówności f'(x)>0, f'(x)0, malejąca gdy f'(x)<0, natomiast ekstremum jest w punkcjie w którym f(x)=0, gdy dodatkowo z jednej strony tego punktu funkcja maleje, z drugiej rośnie... od tego z której rośnie, a z której maleje zalezy cy jest to maksimum, czy minimum

[patyczak]

Ja mam takie pytanie
Czy w b) nie powinno czasem wyjść:
\(\displaystyle{ \frac{2x}{ x^{2}+1 }}\)

a w c) nie powinno być czasem:
\(\displaystyle{ 2x- \frac{2}{x}}\)
?

d)
\(\displaystyle{ x ^{2}e ^{-3x}=2xe^{-3x} - 3x^{2}e^{-3x}}\)
\(\displaystyle{ e^{-3x}(2x-3x ^{2})=xe^{-3x}(2-3x)}\)
e)
\(\displaystyle{ xe ^{-x} = e ^{-x} -xe ^{-x} =e ^{-x} (1-x)}\)

[arek1357]

Tak bo to co wypisała natkoza jest herezją ostateczną

Patyczak masz zupełną rację !!!

[rundak]

Wielkie dzieki! Mam pytanie czy w a) nie powinno wyjsc \(\displaystyle{ \frac{1}{(x+2)^2}}\)?? i z jakiego wzoru na pochodna skorzystano w przykładzie e)??

[ Dodano: 13 Listopada 2007, 09:28 ]
I pomógłby ktos jeszcze wyznaczyc dziedzine powyższych funkcji?? Miałem duza przerwe w matmie i nic nie kumam. a na korki mnie nie stać. Dziekuje wszystkim!!

[arek1357]

w e korzystano ze wzoru na pochodną funkcji wykładniczej:

\(\displaystyle{ e^{f(x)}=f(x)^{'}*e^{f(x)}}\)

w a Szemek wyliczył dobrze

[angel-of-fate]

rundak, powinno wyjsc tak w a
dziedzxine oczywiscie patrzymy z mianownika czyli nie moze byc w nim zero a wiec jezeli masz x+2 w mianoniku to D=R-{-2}

x+2=0
x=-2

inne nie wiem jesce