ciąg fibonacciego podzielnosc i parzystość

[armania]

Witam,

mam takie zadanie ,

dany jest ciag fibonacciego takim wzorem

\(\displaystyle{ f{n}= \frac{1}{ \sqrt{5} }* ( a^n -b^n)}\)

gdzie
\(\displaystyle{ a = \frac{1+ \sqrt{5} }{2} b= \frac{1- \sqrt{5} }{2}}\)


udowodnij za pomocą indukcji ze :

\(\displaystyle{ f{n}}\) jest parzyste wtedy i tylko wtedy gdy n jest podzielne przez 3


ktos wie jak taki dowód ładnie przeprowadzic ??

z gory dziekuje za pomoc.

[Undre]

Jeżeli n jest podzielne przez 3, to możemy zapisać to jako \(\displaystyle{ n=3k}\).

Wstawmy to sobie do naszego wzorku na ciąg :

\(\displaystyle{ f(3k) = \frac{1}{\sqrt{5}}[ (\frac{1+ \sqrt{5} }{2})^{3k} - (\frac{1- \sqrt{5} }{2})^{3k} ]}\)

Następnie wymnażamy sobie ułamki we wzorze zgodnie z wzorkami ściągawkowymi na \(\displaystyle{ (a+b)^3}\) oraz \(\displaystyle{ (a-b)^3}\).
Jak się okazuje, dostajemy po uproszczeniu wyrażeń coś takiego :


\(\displaystyle{ f(3k) = \frac{1}{\sqrt{5}}[ (2+ \frac{18 \sqrt{5}}{8})^k - (2- \frac{18 \sqrt{5}}{8})^k ] = \\ = \frac{1}{\sqrt{5}}[ (2(1+ \frac{9 \sqrt{5}}{8}))^k - (2(1 - \frac{9 \sqrt{5}}{8}))^k ] = \\ = \frac{1}{\sqrt{5}}[ 2^k(1+ \frac{9 \sqrt{5}}{8})^k - 2^k(1 - \frac{9 \sqrt{5}}{8})^k ] = \\ = \frac{2^k}{\sqrt{5}}[ (1+ \frac{9 \sqrt{5}}{8})^k - (1 - \frac{9 \sqrt{5}}{8})^k ]}\)

No i jeżeli nic nie zwaliłem ( 3 rano w końcu ) to wydusiłem legalnie 2^k na front tym samym udowadniając, że f(3k) jest postaci 2^k * cośtam, jest więc parzysta.

[mol_ksiazkowy]

no , ok ale po co tak motac widac od razu, patrzac na trzy pierwsze wyrazy ze wystepuje w nim sekwencje 3 elem: l.nieparzysta, l. nieparzysta, l. parzysta, tak ze chyba nie ma czego dowodzic , oczywiste jest raczej....

[armania]

witaj,

molksiazkowy : niewiem o co ci chodzi, to normalne ze czasami musimy dowodzic 'oczywiste' rzeczy...



undre :

lux, ale w pytaniu jest wyraźnie wtedy i tylko wtedy . czy nie znaczy to ze musimy to udowodnic w dwie strony ??

tzn ze jesli fn jest parzyste to n=3k i jesli n=3k to fn jest parzyste....?

czy w jedną stronę wystarcza ?

[Undre]

chyba nie ma czego dowodzic , oczywiste jest raczej....

A czy czasem nie ma tak w matmie, ze sa pewne hipotezy, ktore owszem, widac od razu ze dzialaja dla pewnych przykladowych malych liczb, ale ogolnego dowodu jeszcze nikt nie podal ?
Nie wiem no, mnie uczono ze to, ze cos widac, to nie gwarancja, ze tak naprawde jest zawsze i wszedzie. I po to sie cos udowadnia.

[armania]

undre, co myslisz o moim pytaniu ? ( w tedy i tylko wtd. )