Czy 0 jest parzyste?

[Lady Tilly]

Ostatnio buszując po Internecie natknełam się na ciekawe wyjaśnienie tej sprawy. Wywód, który prezedstawię nie jest mojego autorstwa - nie wiem kto jest autorem - mogę przypuszczać, że jest nim pewien wykładowca matematyki. Chciałabym wywód przedstawić, bo przedstawia logiczny tok myślenia. Myślę, ze autor tekstu nie pogniewa się - zwłaszcza, że lektura wyjdzie raczej na dobre.
"Proste pytanie na temat pozycji zera w świecie dzieli
grupę myślących ludzi na trzy odrębne obozy. Pytanie
to tak brzmi:

Która z tych trzech możliwości jest prawdziwa?

(1) zero jest nieparzyste
(2) zero jest parzyste
(3) dla zera pytanie nie ma sensu

Są ludzie skłonni odpowiedzieć jeszcze inaczej:

(4) mnie to pytanie nie ciekawi


Najpierw ukłon dla czwartej grupy i parę słów zachęty,
by przenieśli się do jednej z innych trzech. Rozumiem,
że przy liczeniu pieniędzy i mierzeniu powierzchni
mieszkania owa kwestia nie pociąga i wydaje się bez
użytku. Ale użytki to są zwierzątka jeszcze bardziej
niezależne niż koty i nie mieszkają tam gdzie się im
pościele ale gdzie im się chce. Są nieprzewidywalne.
Bo tak naprawdę nie chodzi tu o liczbę wyrażającą
ilość pałaców, które mam (0), ale o znaczenie słów,
których używamy wierząc, że je dobrze rozumiemy. Ten
przykład nieźle służy do podważenia wiary w jakość
owego rozumienia.

To typowe pytanie, które zadaję studentom na zajęciach
gdy mówi się o liczbach naturalnych i całkowitych (tu
też w swoim czasie spróbuję coś ciekawego o nich rzec,
a obietnica opowieści o liczbach zespolonych bez wielu
technikalii też ma się dobrze), na ogół jest to wykład
mający pociągający tytuł Fundamentos de Matematica I.
Studenci zazwyczaj rozdzielają się na dwie grupy, mało
kto chce bronić nieparzystości zera, a po wymianie
paru uwag co do poczytalności adwersarzy zwracają
się do mnie prosząc o rozstrzygnięcie sporu i poznanie
Oficjalnej Prawdy. „Prawdą jest, że...” zawieszam tu
głos tak długo jak wypada „że wszystkie trzy odpowiedzi
są poprawne.”

Oczywiście z początku traktują to jako żart i mija
nieco czasu nim dociera do nich, że będą musieli się
pogodzić z myślą, że w matematyce nie tyle chodzi
o fakty i liczby co o ścieżki, które je łączą czy też
ich nie łączą.

Zaczyna się od przenicowywania pytania: „a co to jest
liczba parzysta?” Ktoś odpowie: „no, podzielna przez 2”.
„Aha” mruknę rozumiejąco, „na przykład 1/7? Albo
log 3 10?” Pojawia się obrona przez ogranicznie
zakresu dopuszczalnych do rozważnia liczb:
całkowite albo naturalne. Rozmowa staje się bardziej
techniczna (innymi słowy: mniej metafizyczna) i można
zerknąć (nieco złośliwie, przyznam) do jakiejś książki
z rachunku różniczkowego, gdzie liczby naturalne
zaczynają się od 1. Parzysta liczba naturalna jest
wielokrotnością 2, czyli ma postać 2k, gdzie k musi
być liczbą naturalną. Zero jest poza zasięgiem liczb
naturalnych, tak jak 1/7 i wygrywa trzecia odpowiedź.


Ale jeśli (zgodnie z większością autorów piszących
obecnie o matematyce) przyjmiemy, że 0 jest liczbą
naturalną, czy wtedy już jesteśmy zmuszeni do uznania
go za liczbę parzystą? Niekoniecznie, logiczne
rozumowanie może poprzeć obie strony odmiennie to
widzące. No bo skąd pochodzi pojęcie parzystości?
Od par? Doskonale, pomyślmy o przedszkolu. Wychodzą
na spacer parami. Nikt nie idzie? Nie ma par. Dzieci
idą parami i żadne nie zostało samo? Określamy ich
ilość słowem parzysta.

W pary są poustawiane dzieci, nie liczby, ale to
często oglądane w języku zjawisko, że cecha staje się
nazwą zbioru. Moher z tkaniny przemienia się w odmianę
homo sapiens, pozbawiona liter i obrazków torebka
plastykowa – w reklamówkę, itp. Więc 2, 4 i podobne
ilości przedszkolaków stają się liczbami parzystymi.
A co NIE jest parzyste ląduje w grupie nieparzystych,
czyli wygrywa pierwsza odpowiedź.

Ale jeśli myślimy o najczęstszych sposobach używania
liczb, chyba od razu zaczniemy od liczb całkowitych.
I podzielność przez 2 będzie zadecydowana przez resztę,
a reszta może być żadna (czyli 0) lub 1. Więc możemy
wybrać drugą odpowiedź, bo reszta z dzielenia 0 przez
2 to 0.

Chwileczkę, możemy czy musimy wybrać to rozumienie?
Jak właśnie zobaczyliśmy, jeśli opierać się tylko na
logice, to przyzna ona wszystkim rację. Ale jest pewna
ogólna zgoda, w praktyce ludzie używają drugiej opcji.
Więc ta zgoda nie jest osiągnięta w nieuchronny sposób
przez odwołanie się do logiki, ale do czegoś innego:
do wygody przy przyszłych (a z góry przewidywanych)
zastosowaniach. Czyli formalnie poprawne to jedna
sprawa a pożądane w praktyce – zupełnie inna historia.
Nie chodzi nam o logiczną poprawność a o wytworzenie
takich narzędzi, które najłatwiej będzie trzymać
w ręce. I wytwarzanie tych narzędzi to najważniejsza
część pracy matematyka. Tu, na przykad, nie było widać
na niebie nakazu: tak a tak będziesz rozumiał to słowo.
Musieliśmy zadecydować jak je będziemy rozumieli,
czyli jak je definiujemy.

Nie mówiło się o tym w szkole na lekcjach bo trzeba
było rachować i rysować i przenosić na drugą stronę?
Wiem. Często na matematykę nie ma czasu na lekcjach
matematyki."

[salda_fadla]

Pytanie bardzo pokretne - tak naprawde autor pyta sie czem jest liczba parzysta. Dyskusja rownie malo chwalebna jak "czy zero jest liczba naturalna". I troche bezcelowa. Wedlug prawidlowej definicji parzystosci zero jest liczba parzysta, bo tak jest wygodnie. Akurat w matematyce utylitaryzm powinien rzadzic zelazna reka.