okrąg

[Mariusz123]

Dany jest okrąg o środku O i promieniu 3. Z punktu P poprowadzono dwie styczne do tego okręgu w punktach M i N ( rysunek obok) . Wiedząc, że kąt MPN ma miarę \(\displaystyle{ 30^{o}}\), oblicz długośc cięciwy MN .



Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania
Z góry dziękuję

[andkom]

Dorysuj sobie promienie OM i ON, i skorzystaj z tego, że styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego z punktu styczności oraz z tego, że suma kątów czworokąta PMON wynosi 360 stopni. Otrzymasz z tego, że kąt MON ma 120 stopni, czyli trójkąt MON jest trójkątem równoramiennym o ramieniu 3 i kącie między ramionami 120 stopni. Zatem \(\displaystyle{ MN=2\cdot3\cdot\sin(120^\circ/2)=3\sqrt3}\)

[Mariusz123]

w odpowiedzi \(\displaystyle{ 3 \sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

A kąt MON czasem nie ma 150 stopni ( to jest 360 - 90 - 90 -30 = 150 ) ?

[andkom]

Słusznie. Ech, te kłopoty z odejmowaniem
Zatem \(\displaystyle{ MN=2\cdot3\cdot\sin(150^\circ/2)=6\sin75^\circ}\)

\(\displaystyle{ \sin75^\circ=\sin(150^\circ/2)=\sqrt{\frac{1-\cos150^\circ}2}=\\
=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}2}2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2}\)
Stąd
\(\displaystyle{ MN=6\sin75^\circ=3\sqrt{2+\sqrt3}}\)

[Mariusz123]

Dzięki twoim wskazówkom policzyłem z twierdzenia cosinusów i wyszedł mi dobry wynik.
A co do twojego rozwiązania to powiedz mi

Zatem \(\displaystyle{ MN=2\cdot3\cdot\sin(150^\circ/2)=6\sin75^\circ}\)

Z czego tutaj skorzystałeś ? z jakiego wzoru ?

\(\displaystyle{ =\sin(150^\circ/2)=\sqrt{\frac{1-\cos150^\circ}2}=}\)

A tutaj jaki wzór zastosowałeś ? skąd pojawił się ten pierwiastek ?

[andkom]

W pierwszym przypadku:
Dorysowałem naszemu trójkątowi równoramiennemu wysokość i skorzystałem z tego, że jej spodek dzieli podstawę na dwie równe części oraz z tego, że wysokość ta jest zawarta w dwusiecznej kąta między ramionami.

W drugim przypadku:
Skorzystałem ze wzoru
\(\displaystyle{ \left(\sin\frac{\alpha}2\right)^2=\frac{1-\cos\alpha}2}\)

[Mariusz123]

W pierwszym przypadku:
Dorysowałem naszemu trójkątowi równoramiennemu wysokość i skorzystałem z tego, że jej spodek dzieli podstawę na dwie równe części oraz z tego, że wysokość ta jest zawarta w dwusiecznej kąta między ramionami.

nie bardzo rozumiem jak to ma się do tego wzoru \(\displaystyle{ MN=2\cdot3\cdot\sin(150^\circ/2)=6\sin75^\circ}\) mógłbyś to szerzej wytłumaczyć ?
\(\displaystyle{ 3}\) to jest bok trójkata i zarazem promień koła , \(\displaystyle{ sin ^\circ 75}\) kat między wysokoscią, a bokiem OM , a \(\displaystyle{ 2}\) że jest połową tego trójkata MON ?
Może jest w takim przypadku ogólny wzór lub jakaś definicja ?
Mógłbyś wyjaśnić ?