równania wymierne

[aga_1_5]

Mam problem z pewnymi równaniami...Czy ktoś mógłby mi pomóc?

1) \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{x+2}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{x+5}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{x+1}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{x+3}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{x+4}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{x+6}}\)

2) \(\displaystyle{ x^{5}}\) = \(\displaystyle{ \frac{133x - 78}{133 - 78x}}\)

[wb]

Może do 1. uzyj wzoru:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}= \frac{1}{n(n+1)}}\)
łącząc w pary odpowiednie składniki, których mianowniki różnią się o 1.

W 2., po wymnożeniu przez mianownik i grupowaniu:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(78(x^2+x+1)(x^2-x+1)-133x(x^2+1))=0 \\ x=1 x=-1 78x^4-133x^3+78x^2-133x+78=0}\)
Z ostatniego z równań wychodzi jeszcze \(\displaystyle{ x= \frac{3}{2}\vee x= \frac{2}{3}}\)
ale wiem to z komputera a nie własnych rachunków.

[aga_1_5]

hmm... nie wiem za bardzo jak ten wzor podstawic do tego pierwszego rownania ... a z tym drugim to nie wiem... bo do tego momentu doszłam i nie wiem jak wyliczyc z tego x ....

[wb]

1.
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+7}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+6} \\ (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})=(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5})+(\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}) \\ \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{(x+4)(x+5)}+\frac{1}{(x+6)(x+7)}}\)
Dalej proponowałbym przenieść jeden ze składników z lewej strony i jeden z prawej na przeciwną by uzyskać po obu stronach odejmowania (są rózne możliwości - sprawdziłbym, która daje lepsze wyniki). Następnie chyba już trzeba by było posprowadzać odzielnie prawą i lewą stronę do wspólnego mianownika. Potem, tak jak w proporcji wymnożyłbym "na krzyż".

Co do pierwszego, to skoro wiesz jakie są rozwiązania (pisałem Ci) , to rozłóż otrzymany wielomian na czynniki przez dzielenie go.

[aga_1_5]

a czemu zrobiłes x(x-1) i (x+2)(x+3) itd. skoro wczesniej było odejmowanie? a co do pierwszego... jakbym nie znała wyników ... co to jak wtedy mogłabym wpasc na to przez co podzielic ?

[wb]

1.No właśnie zastosowałem wzór , który podałem Ci wcześniej.

2. Jak nie wiesz przez co dzielić, to należy zastosować tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu... Znasz ze szkoły?

[aga_1_5]

znam znam ...., zrobilam to , dziękuje....tylko chcialam się zapytać jak można szybko wpaść na pomysł przez co dzielic...a w tym pierwszym to podstawilam i dalej mi nie chce wyjsc ..... znaczy jakos w koncowym etapie....
Ja robiłam sposobem takim ze wyłańczałam wspolne czynniki przed nawias...tylko ze wyszły mi dwa nawiasy i nie wiem jak z drugiego wyliczyc dla jakich x jest rowne 0 ( a pozatym ten sposob jest straszniee dlugi)

[wb]

Dzieli się przez dwumian x-p , gdzie p jest pierwiastkiem znalezionym według tw. o którym pisałem.

Co do tego, że długo i dużo się liczy - może jest tu jakiś trick, który to ułatwi, ale ja go nie znam.

[aga_1_5]

Dziekuje....