przykłady zastosowania

[Hania_87]

1)przykład funkcji nieliniowej funkcji jednostajnie ciągłej na dziedzinie nieograniczonej
2)podac przykład ciągłej funkcji \(\displaystyle{ f:R^2->R}\),dla której "cięcie"f(.,y) jest ciągłe dla wszystkich\(\displaystyle{ y R}\). wykazać, że funkcja jest ciągła, to "cięcia" f(.,y) i y(x,.) są ciągłe dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y R}\)
3)czy istnieje funkcja rzeczywista na przedziale nie mająca ani jednego punktu ciągłości odpowiedz uzasadnij. czy istnieje funkcja monotoniczna na przedziale nie mająca ani jednego punktu ciągłości dlaczego

Z góry dziękuję

[Sage!]

a) Wystarczy wziąć funkcję \(\displaystyle{ \sin{x}}\) lub\(\displaystyle{ \cos{x}}\).
b) Oczywiście, że istnieje na przykład funkcja \(\displaystyle{ f(x) = 1 \ \mbox{dla} \ \mbox{Q} \ \cap \ [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ f(x) = 0 \ \mbox{dla} \ \mbox{IQ} \cap [0,1]}\)
Łatwo pokazać, że taka funkcja ma rozważane własności.

Natomiast na ostatnie pytanie w tej chwili nie znam odpowiedzi.

[micholak]

Mozna pokazac ze funkcja monotoniczna ma przeliczalnie wiele punktow nieciaglosci