Uzasadnić, korz. z def. granicy wg. Heinego i Cauchy'ego

[raidmaster]

Korzystając z definicji granicy wg.Heinego uzasadnić, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{2x}{x+1} =2}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -\infty } 1-x ^{2} = -\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } cosx = 1}\)
Korzystając z definicji granicy wg Cauchy'ego uzasadnić, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } cosx = 1}\)

Prosiłbym o jakiś schemat, jak uzasadniać w/w z definicji.

[nuclear]

wg mnie ale mogę sie mylić trzeba w pierwszym przypadku policzyć tą granicę
więc tak
1)
\(\displaystyle{ {L=}\lim_{x\to\infty} \frac{2x}{x+1}= \\ \lim_{x\to\infty} \frac{2x}{x(1+\frac{1}{x})}= \\ \mathrm{podstawiamy \ za \ x\ nieskończonosc\ mamy}\\ =\frac{2}{1}=2 \mathrm{=P}}\)
3)\(\displaystyle{ {L=} \lim_{x \to-\infty} 1- x^2=\lim_{x \to-\infty} x^2(\frac{1}{x^2}-1)=(-\infty)^2(0-1)=-\infty {=P}}\)

[raidmaster]

No tak. Ja wiem jak to obliczyć w "normalny sposób". Zauważ, że to ma być z definicji.
Ale z tego z co wiem lekko przerabiając tę 1 i 3 może jakoś by to poszło. Podsunąłeś mi nawet pewną myśl.
Najbardziej zależało mi na tym Cauchyego i Heinego dla cosinusa.

[fisz5]

mam podobny problem pale z tego co mi wiadomo wstawiasz wzor ciagu do definicji i pozniej bierzesz epsilon -dowolne ustalone i liczysz