Udowodnij:
\(\displaystyle{ \forall a,b>0}\)
1. \(\displaystyle{ min(a, b) \leqslant \frac{2}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}}}\)
2. \(\displaystyle{ \frac{2}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab}}\)
3. \(\displaystyle{ \sqrt {ab} \leqslant \frac{a+b}{2}}\)
4. \(\displaystyle{ \frac {a+b}{2} \leqslant \sqrt {\frac {a^2+b^2}{2}}}\)
5. \(\displaystyle{ \sqrt {\frac {a^2+b^2}{2}} \leqslant max(a, b)}\)
-----
\(\displaystyle{ \forall a \geqslant b >0}\)
6. \(\displaystyle{ \frac{1}{8} \frac{(a-b)^2}{a} \leqslant \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \leqslant \frac{1}{8} \frac{(a-b)^2}{b}}\)
---
\(\displaystyle{ \forall a, b, c >0}\)
7. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} qslant \frac{a+b+c}{3}}\)
Nierówności między średnimi
- magdabp
- Użytkownik
- Posty: 280
- Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poland
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 29 razy
Nierówności między średnimi
nie wiem jak mam zrobić przykłady 1 i 5:/
dowiedziałam się tylko że:
\(\displaystyle{ min(a, b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}}\)
\(\displaystyle{ max(a, b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}}\)
dowiedziałam się tylko że:
\(\displaystyle{ min(a, b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}}\)
\(\displaystyle{ max(a, b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Nierówności między średnimi
Udowodnię tylko lewą stronę nierówności, prawą zrób analogicznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \frac{(a-b)^2}{a} \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^{2}}{8a}\leq \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^{2}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}\leq 4a}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2} q 4a}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b} q \sqrt{4a}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq 2\sqrt{a}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{b}\leq \sqrt{a}}\), co z założenia jest prawdą
\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \frac{(a-b)^2}{a} \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^{2}}{8a}\leq \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^{2}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}\leq 4a}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2} q 4a}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b} q \sqrt{4a}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq 2\sqrt{a}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{b}\leq \sqrt{a}}\), co z założenia jest prawdą