Nierówność logarytmiczna

zonkil · Post autor: **zonkil** » 2 lis 2007, o 09:27

Jak zrobić coś takiego: \(\displaystyle{ (log_{5}(6-x))^2+2log_\frac{1}{\sqrt{5}}(6-x)+log_{3}27\geqslant0}\)

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 2 lis 2007, o 10:08

Ustalasz dziedzinę, następnie korzystasz z tego, że:
\(\displaystyle{ 2 \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6-x)=2\frac{\log_{5} (6-x)}{\log_{5}\frac{1}{\sqrt{5}}}=2\frac{\log_{5}(6-x)}{-\frac{1}{2}}=-4 \log_{5} (6-x)}\)

..:: tu były bzdury ::..

zonkil · Post autor: **zonkil** » 2 lis 2007, o 10:38

Skąd to się wzięło: \(\displaystyle{ 2 \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}=2\frac{\log_{5} (6-x)}{\log_{5}\frac{1}{\sqrt{5}}}=2\frac{\log_{5}(6-x)}{-\frac{1}{2}}=-4 \log_{5} (6-x)}\)

setch · Post autor: **setch** » 2 lis 2007, o 11:15

Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu

Lorek · Post autor: **Lorek** » 2 lis 2007, o 11:16

Sylwek pisze:I masz: \(\displaystyle{ t^2-4t+3=(t-3)(t-1)\geq 0}\)

Sylwek,
\(\displaystyle{ \log_5^2(6-x)\neq \log_5 (6-x)^2}\)

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 2 lis 2007, o 11:25

Racja Lorek, trochę się pospieszyłem (chociaż brakuje jednego nawiasu w przykładzie). To w sumie sprawa się nawet upraszcza

Mamy więc:
\(\displaystyle{ \log_5 (6-x)^2-2 \log_5 (6-x)^2+3 \geq 0 \\ -\log_5 (6-x)^2+3 \geq 0 \\ \log_5 (6-x)^2 \leq 3 \\ log_5 (6-x)^2 \leq log_5 125}\)

Dalej to już izi

, tylko nie zapomnij o dziedzinie.

A poza tym pamiętaj, że:
\(\displaystyle{ \log_b c=\frac{\log_a c}{\log_a b}}\)

A w poprzednim moim przykładzie brakowało (6-x) w tym miejscu:
\(\displaystyle{ 2 \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6-x)}\)