Pochodna i granica skomplikowanej funkcji

[Alik]

Niech \(\displaystyle{ \lambda_{p}(x)=(\frac{x^p+y^p}{2})^\frac{1}{p}}\) będzie zadana dla \(\displaystyle{ p R \backslash \lbrace0\rbrace}\) oraz dodatnich x i y. Oblicz pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji \(\displaystyle{ \lambda}\) przy założeniu, że y jest ustaloną stałą. Wyznacz \(\displaystyle{ \lim_{p\to 0} \lambda_{p}(x)}\)

[arek1357]

granica mi wyszła lnx gdy y/x 1

i (lnxy)/2 gdy y=x liczyłem z de H'ospitala...

[Alik]

Hmmm... Mógłbyś pokazać w skrócie jak to liczyłeś? Z góry dzięki!

[arek1357]

oki:
ta funkcja równa jest:

\(\displaystyle{ e^{\frac{1}{p}ln\frac{x^{p}+y^{p}}{2}}}\)

po zastosowaniu reguły Szpitalnej mamy:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{x^{p}lnx+y^{p}lny}{2}}{\frac{x^{p}+y^{p}}{2}}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \frac{x^{p}lnx+y^{p}lny}{x^{p}+y^{p}}}\)

a to dalej jest równe:

\(\displaystyle{ \frac{lnx+ (\frac{y}{x})^{p} lny}{1+ (\frac{y}{x})^{p}}}\)


no i przy p->0 wyrażenie dąży do: (lnx+lny)/2

a gdy p->nieskończoności mamy: w zależności czy y/x>1 lub y/x