żS-5, od: Sylwek, zadanie 3

[Liga]

\(\displaystyle{ x^2+2y^2=24 \\ x^2-2y^2=8}\)

Dodając równania stronami otrzymujemy \(\displaystyle{ x=4 x=-4}\), natomiast odejmując stronami otrzymujemy \(\displaystyle{ y=2 y=-2}\)

Rysunek pomocniczy:
i22.tinypic. com/vnl9cp.gif

Punkty A, B, C, D są szukanymi punktami przecięcia krzywych. Kąt, którego cosinus mamy wyszukać jest oznaczony na rysunku jako \(\displaystyle{ \alpha}\). Wiemy, że przekątne dzielą prostokąt na 4 trójkąty o równych polach. Czyli:
\(\displaystyle{ P_{\Delta AEB}=\frac{1}{4} (4-(-4)) (2-(-2))=8}\)

Ponieważ przekątne w prostokącie są równe i dzielą się na połowy, to:
\(\displaystyle{ EA=EB=\frac{1}{2}\sqrt{(4-(-4))^2+(2-(-2))^2}=2\sqrt{5}}\)

Pole trójkąta AEB wynosi więc:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} (2\sqrt{5})^2 \sin \\ 8=\frac{1}{2} 20 \sin \\ \sin =\frac{4}{5} (0, \frac{\pi}{2}) \cos = \frac{3}{5}}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \cos =\frac{3}{5}}\)

[scyth]

5/5?