Równoległobok w dowolnym czworokącie

piasektt · Post autor: **piasektt** » 27 paź 2007, o 21:27

Witam
Jak można pokazać za pomocą wektorów, że środki dowolnego czworokąta tworzą wierzchołki równoległoboku?
Ja zacząłem od tego,że przekątne tego równoległoboku przecinają się pod kątem prostym w pewnym punkcie , który jest jednakowo oddalony od środków boków czworokąta. Na tej podstawie można utworzyć cztery takie same trójkąty prostokątne. Ale nie wiem co dalej.

Może ktoś ma inny prostszy pomysł?

Sir George · Post autor: **Sir George** » 28 paź 2007, o 16:17

piasektt pisze:Ja zacząłem od tego,że przekątne tego równoległoboku przecinają się pod kątem prostym w pewnym punkcie

Tyle tylko, że to nie jest prawdą...

piasektt · Post autor: **piasektt** » 28 paź 2007, o 17:21

Faktycznie w poleceniu jest równoległobok a ja cały czas myliłem go z rombem.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 28 paź 2007, o 17:40

No to teraz podpowiedź:
1. oznacz boki czworokąta ABCD wektorami AB=u, BC=v oraz AD=p, DC=q.
Masz wówczas u+v=p+q.

2. Wyraź przez wektory u, v, p, q środki boków, a następnie pokaż, że wektory odpowiadające odcinkom łączącym odpowiednie punkty są równe (korzystając z równości z p.1.)

piasektt · Post autor: **piasektt** » 28 paź 2007, o 20:51

Dzięki za podpowiedź! Teraz sobie poradzę.