Pare zadan z granicami

[5artos]

Witam
Może ktoś wie jak to udowdnić
1.Należy udowodnić że nie istnieje granica ciągu:

\(\displaystyle{ {cosx}_{n=1}^{\infty}}\)

2.Wykazać z defenicji granicy ciagu że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}2^{n}=+\infty}\)
w tym przsypadku def. będzie wyglądała w nastepujący sposób:
\(\displaystyle{ (\bigvee_{\varepsilon>0})(\bigwedge_{n_{\varepsilon}\in N})(\bigvee_{n>n_{\varepsilon}})}\)
i teraz ten ostatnie element nie może wyglądać przecież tak bo do niczego to nie prowadzi:
\(\displaystyle{ |2^{n}-(+\infty)|}\sqrt[n]{\frac{(-1)^n}{n}+2n}}\)



pzdr.

[g-dreamer]

1.Należy udowodnić że nie istnieje granica ciągu:
\(\displaystyle{ {cosx}_{n=1}^{\infty}}\)
Nie bardzo jarzę taki zapis, ale pewnie trzeba pokazać takie dwa ciągi dążące do nieskończoności, że dla nich ta funkcja będzie dążyła do różnych liczb.

2.Wykazać z defenicji granicy ciagu że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}2^{n}=+\infty}\)
w tym przsypadku def. będzie wyglądała w nastepujący sposób:
\(\displaystyle{ (\bigvee_{\varepsilon>0})(\bigwedge_{n_{\varepsilon}\in N})(\bigvee_{n>n_{\varepsilon}})}\)
i teraz ten ostatnie element nie może wyglądać przecież tak bo do niczego to nie prowadzi:
\(\displaystyle{ |2^{n}-(+\infty)|0}\bigvee_{n_0 \in N}\bigwedge_{n \in N} [(n>n_0) \Rightarrow (a_n>\varepsilon)]}\)
więc: \(\displaystyle{ 2^n>\varepsilon\\
\Rightarrow n>\log{2}\varepsilon}\)
Czyli istnieją takie n, że zachodzi powyższa nierówność, więc ciąg ma granicę niewłaściwą.

3. Obliczyć granice:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\sqrt[n]{\frac{(-1)^n}{n}+2n}}\)
Podziel na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ (-1)^n=\begin{cases}1, gdy\ n 2k, k N\\ -1, gdy\ n \not\in 2k, k N\end{cases}}\)

[luka52]

Trzecie z trzech ciągów:
\(\displaystyle{ 1 \longleftarrow \sqrt[n]{n} qslant \sqrt[n]{\frac{(-1)^n}{n} + 2n} qslant \sqrt[n]{3n} \longrightarrow 1}\)

[5artos]

Rzeczywisćie trzecie z trzech ciągów a możesz mi dodatkowo napisać czemu akurat w ciągu:
- pierwszym \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) mamy samo n pod pierwiastkiem, ponieważ jest najmniejszym wyrazem ?? ??
- trzecim \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3n}}\) mamy 3n pod pierwiastkiem ?? ??

[mol_ksiazkowy]

O ileby ciag sin(n) był zbiezny do g, to wtedy ciag \(\displaystyle{ cos(n)= \frac{sin(2n)}{2sin(n)}}\) tez bylby zbiezny do 0,5, a wtedy sin(n) musibyc zbiezny do \(\displaystyle{ +- \frac{\sqrt{3}}{2}}\) co jest sprzeczne, tj oba ciagi ww nie maja granic ps przypadek g=0 wykluczamy osobno,

[5artos]

a czy moge potraktowac ten zapis

\(\displaystyle{ {cos(n)}_{n=1}^{\infty}}\) a dokladnie cos mam zapisany tak {cos(n)} i potem n=1 i nieskończoność
jako
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }cos(n)}\) ??

i wtedy należało by zrobićmoże w ten sposób:

1.
Jak jusz sugerowaliście należy wskazać dwa ciagi zbieżne do granicy właściwej, że watrtości funkcji elementach tych ciągów będą miały różne granice czyli:

Niech:
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{\pi}{2}+n\pi \ oraz \ b_{n}=2n\pi}\)
więc
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}cos \ a_{n}=\lim_{n\to }cos(\frac{\pi}{2}+n\pi)=\lim_{n \to }0=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}cos \ b_{n}=\lim_{n\to }cos(2n\pi)}=\lim_{n \to }1=1}\)

Otrzymałem 2 różne granice więc granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to }cos(n)}\) nie istnieje
czy o to chodzi ?

[ Dodano: 13 Października 2007, 14:10 ]
Jeszcze ważne pytanie jak dla mnie
skad sie biora te wyrazy \(\displaystyle{ a_{n} \ i \ c_{n}}\) w przypadku gdy korzystamy z tw. o trzech ciągach ? ? ?
Jak będzie teraz w przykładzie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\sqrt{9^{n}-3^{n}}}\) moge się jedynie domyslac że granicąbędzie 3 ale jest jakaś zasada własnie na te ciągi \(\displaystyle{ a_{n} \ i \ c_{n}}\)

[luka52]

Rzeczywisćie trzecie z trzech ciągów a możesz mi dodatkowo napisać czemu akurat w ciągu:
- pierwszym \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) mamy samo n pod pierwiastkiem, ponieważ jest najmniejszym wyrazem ?? ??
- trzecim \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3n}}\) mamy 3n pod pierwiastkiem ?? ??

Hmm...
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} qslant \sqrt[n]{-1 + 2n} qslant \sqrt[n]{\frac{(-1)^n}{n} + 2n} qslant \sqrt[n]{1 + 2n} qslant \sqrt[n]{3n}}\)

[mol_ksiazkowy]

5artos napisał:

a czy moge potraktowac ten zapis

\(\displaystyle{ {cos(n)}_{n=1}^{\infty}}\) a dokladnie cos mam zapisany tak {cos(n)} i potem n=1 i nieskończoność
jako
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }cos(n)}\) ??

i wtedy należało by zrobićmoże w ten sposób:

okey
5artos napisał:

1Niech:
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{\pi}{2}+n\pi \ oraz \ b_{n}=2n\pi}\)
więc
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}cos \ a_{n}=\lim_{n\to }cos(\frac{\pi}{2}+n\pi)=\lim_{n \to }0=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}cos \ b_{n}=\lim_{n\to }cos(2n\pi)}=\lim_{n \to }1=1}\)

Otrzymałem 2 różne granice więc granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to }cos(n)}\) nie istnieje
czy o to chodzi ?

raczej ze... \(\displaystyle{ \lim_{x \to }cos(x)}\)
nie istnieje

[5artos]

luka52 albo ktoś inny mogłby wytłumaczyć na jakiej zasadzie ustalam te kresy górne i dolne skrajne w przypadku korzystania z TWIERDZENIA O TRZECH CIĄGACH

I jakie powinienem przyjąć skrajne ciągi do obliczania takiej granicy:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{n}{n^{2}+1}\sin(3n+1)}\)
oraz w takim przypadku:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sin(\sqrt{n+1})-\sin(\sqrt{n})}\)

[mol_ksiazkowy]

tu stosujesz tw, ze iloczyn ciągu zbieznego do zera i ograniczonego jest takze zbiezny do zera
z tym ze w drugim przypadku zastosuj wzor na
sin(a)-sin(b)

[przemek129]

i jak to blicz dalej bo nie wiem i prosze o odpowiedz najlepiej jakby był schemat tego rozwiązania.Chodzi mi o ten drugi przykład