obliczyc granice

[robin5hood]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to{0}} (\frac{x^2\cdot\sin{\frac{1}{x}}}{\sin{x}})^\frac{1}{x}}\)

[Sir George]

Wzory, owszem, można zastosować tutaj różne... ale moim zdanie granica ta nie ma większego sensu, bowiem dla \(\displaystyle{ x_n\,=\,\frac2{(4n+3)\pi}}\) mamy:
\(\displaystyle{ x_n\,\to\,0\ \qquad\ \&\ \quad\ x_n^2\,>\,0\ \qquad\ \&\ \quad\ \sin x_n\,>\,0\ \qquad\ \&\ \qquad\ \sin\frac1{x_n}\,=\,-1}\)

Jak zatem policzymy potęgę o wykładniku niecałkowitym (dodatnim) z liczby ujemnej?

[sesego2000]

a nie wyjdzie to cos z e??

[Sir George]

a nie wyjdzie to cos z e??

A czytałeś post wyżej? Jak może wyjść cokolwiek z czegoś, co nie ma sensu?

Poza tym, nawet przy bezmyślnym stosowaniu wzorów warto sprawdzać założenia... a to, o czym myślisz jest prawdopodobnie twierdzenie mówiące o postaci granicy typu \(\displaystyle{ (1)^\infty}\). Tutaj natomiast podstawa dąży do 0:
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}\,\to\,1\ \&\ \big|\sin\frac1x\big|\,\le\,1\ \&\ x\,\to\,0}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{x^2\sin\frac1x}{\sin x}\,\longrightarrow\,0}\)

Niestety, jak pisałem wcześniej, przebiega nieskończenie wiele razy przez liczby ujemne...