funkcja ciągła

[22081987]

Wykaz że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:R^{2}\to R}\) która jest ciągła jako funkcja zmiennej \(\displaystyle{ x_{1}}\) i jest ciagła jako funcja zmiennej \(\displaystyle{ x_{2}}\) oraz jest monotoniczna jako funkcja zmiennej \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest ciągła.

[Spektralny]

Bez straty ogólności załóżmy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca ze względu na pierwszą zmienną. W przecienym wypadku rozważmy funkcję do niej przeciwną.

Niech \(\displaystyle{ (x_0, y_0)\in \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\). Wówczas istnieją takie liczby \(\displaystyle{ \delta, \delta_1, \delta_2>0}\), że dla \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}}\) mamy

• \(\displaystyle{ |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x,y_0)-f(x_0, y_0)|<\varepsilon/2,}\)

• \(\displaystyle{ |y-y_0|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_0+\delta,y)-f(x_0+\delta, y_0)|<\varepsilon/2,}\)

• \(\displaystyle{ |y-y_0|<\delta_2 \Rightarrow |f(x_0-\delta,y)-f(x_0-\delta, y_0)|<\varepsilon/2.}\)

Niech \(\displaystyle{ \delta^*=\min\{\delta_1, \delta_2\}}\). Ustalmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) w prostokącie \(\displaystyle{ [x_0-\delta, x_0+\delta]\times [y_0-\delta^*, y_0+\delta^*]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca ze względu na pierwszą zmienną, mamy

• \(\displaystyle{ [f(x_0-\delta,y_0)-f(x_0-\delta, y)] + [f(x_0-\delta, y) - f(x_0, y_0)] \leqslant f(x,y)- f(x_0, y_0)}\)

oraz

• \(\displaystyle{ f(x,y)- f(x_0, y_0) \leqslant [f(x_0+\delta,y_0)-f(x_0+\delta, y)] + [f(x_0+\delta, y) - f(x_0, y_0)],}\)

co daje łącznie

• \(\displaystyle{ -\varepsilon/2 - \varepsilon/2 < f(x,y)- f(x_0, y_0)< \varepsilon /2 + \varepsilon /2}\)

czyli \(\displaystyle{ |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon}\), co dowodzi ciągłości. \(\displaystyle{ \square}\)