Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis »

Mamy tak:
\(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I} \subseteq X \\ a,b\in X \\ a \ R \ b \Leftrightarrow \bigvee_{i\in I} a,b\in X_i}\)
I należy udowodnić twierdzenie:
\(\displaystyle{ R}\) - relacja równoważnosci \(\displaystyle{ X= \bigcup_{i \in I} X_i, \ \ i \neq j \Rightarrow X_i \cap X_j = \emptyset}\)
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki »

Zauwaz, ze elementy rodziny \(\displaystyle{ \{X_{i}\}_{i\in I}}\) to klasy abstrakcji naszej relacji rownowaznosci, reszte sobie dopowiedz ze znanych wlasnosci tychze wlasnie.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis »

Już w tytule to zauwazyłem; )
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki »

Ok, to pisze.

To najpierw z lewej do prawej.

Skoro juz wiemy, ze \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) to zbior klas abstrakcji to automatycznie mamy teze, gdyz wiemy, ze suma klas abstrakcji daje caly zbior \(\displaystyle{ X}\), a same klasy sa albo rowne albo rozlaczne.

Z prawej do lewej.

1) zwrotnosc

\(\displaystyle{ aRa\equiv \exists i\in I : a\in X_i}\), a to mamy z tego, ze \(\displaystyle{ X=\bigcup_{i\in I} X_i}\).

2) symetria - raczej oczywiste

3) przechodniosc

Niech \(\displaystyle{ aRb\wedge bRc}\).

Wtedy znajdziemy takie \(\displaystyle{ X_{i_0}}\) i \(\displaystyle{ X_{i_1}}\), ze \(\displaystyle{ a,b\in X_{i_0}}\) i \(\displaystyle{ b,c\in X_{i_1}}\), ale \(\displaystyle{ X_{i_0}\cap X_{i_1}=\emptyset}\), wiec \(\displaystyle{ i_0 = i_1}\), czyli \(\displaystyle{ aRc}\).
Ostatnio zmieniony 26 paź 2007, o 23:52 przez Tomasz Rużycki, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis »

To już przedstawie swoje rozumowanie.

U mnie problem jest jak zwykle w tego typu zadaniach z formalnym zapisaniem. Robie tak:
\(\displaystyle{ ( b \ R \ a \\ \bigvee_i a,b \in X_i}\)
No to także jasne ze b,a też należa do jednego zbioru...
3. przechodniość
\(\displaystyle{ [a \ R \ b \wedge b \ R \ c] => a \ R \ c \\ \bigvee_i a, b X_i \bigvee_j b, c X_j}\)
Czyli tutaj także wszytskie elementy a, b, c muszą nalezeć do jednej klasy czyli zachodzi a R c.

No i to byłby koniec dowodu w jedną stronę. Nie wiem czy takie coś wystarczy?
A w drugą sądze że jeszcze prościej ale jakos nie mam pomysłu...

[edit]
To widze podobnie jak Ty kombinuję. W zwrotnosci już wiem co źle zinterpretowalem. Symetria jasne, ale w przechodniosci skąd masz zbiór pusty? Wspolnym elementem jest b...

I jakbys mogl jeszcze dowód w prawo troche rozwinąć; )
Ostatnio zmieniony 26 paź 2007, o 23:49 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki »

No tak, jest ok, tylko musisz sie wytlumaczyc, czemu mozesz wybrac te zbiory.

A w druga strone?

Mamy takie fakciki:

Niech \(\displaystyle{ R}\) bedzie relacja rownowaznosci, powiedzmy na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\), wtedy:

\(\displaystyle{ [a]_{R}\cap [{}b]_{R}=\emptyset\vee [a]_{R}=[b{}]_{R}}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcup_{a\in Y} [a]_{R} = Y}\).


--
No wlasnie z tego, ze przeciecie dowolnych dwoch roznych klas abstrakcji jest zbiorem pustym wnioskujemy, ze tamte dwie sa rowne, czyli te trzy elementy naleza do jednego zbioru.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis »

No tak, to przechodniość widze ze jednak tak samo zrobilismy. To w lewo dowód zamknięty.

Natomiast te fakty co podajesz to czy my ich nie mamy wlasnie udowodnic...? Także trudno w dowodzie się opierać na tym co mamy udowodnic: | chyba że coś pokręciłem...
Choć w desperacji na egzaminie zdarzył mi się dowód poprzez założenie tezy; )
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki »

To sa ogolne fakty zachodzace dla dowolnej r. rownowaznosci.

Wiemy, ze \(\displaystyle{ p\Rightarrow q\equiv p\vee q}\), wiec mozemy pokazac \(\displaystyle{ [a]_R\cap [b{}]_R\neq\emptyset\Rightarrow [a]_R = [b{}]_R}\).

Niech \(\displaystyle{ x\in [a]_R}\), z zalozenia mamy \(\displaystyle{ [a]_R\cap [b{}]_R\neq\emptyset}\), powiedzmy, ze \(\displaystyle{ c}\) lezy w tym przecieciu.

Mamy \(\displaystyle{ xRc}\), ale \(\displaystyle{ cRb}\), wiec z przechodniosci \(\displaystyle{ xRb}\), mamy inkluzje \(\displaystyle{ [a]_R\subset [b{}]_R}\), druga pokazujemy analogicznie.


Teraz ten drugi fakcik, inkluzje \(\displaystyle{ \bigcup_{a\in Y} [a]_R\subset Y}\) mamy od razu, druga inkluzje mamy ze zwrotnosci.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis »

Powoli myslę bo senny jestem.

W tym drugim fakciku jak pokazać ze zwrotnosci inkluzje w drugą strone?

A co do wyjsciowego zadania to moge jakos skomentowac czemu tamte rodziny zbiorów uważam za klasy abstrakcji? Bo faktycznie jak sie stwierdzi że to klasy abstrakcji to nie ma w ogole czego dowodzić.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki »

Popatrz: niech \(\displaystyle{ x\in Y}\), ze zwrotnosci mamy \(\displaystyle{ xRx}\), czyli \(\displaystyle{ x\in [x]_R\subset \bigcup_{a\in Y} [a]_R}\).

Co do drugiego pytania, chcemy pokazac, ze jesli \(\displaystyle{ a\in X_0}\), to \(\displaystyle{ [a]=X_0}\).

\(\displaystyle{ x\in [a]\equiv xRa\equiv x,a\in X_0\equiv x\in X_0}\).
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis »

heh
\(\displaystyle{ \bigcup_{a\in Y} [a]_{R} = Y}\)
zresztą to przecież jest oczywiste skoro sumujemy po wszystkich elementach Y a każdy element należy do swojej klasy to siłą rzeczy uzbieramy cały zbior Y i mamy od razu równość...

Co do pierwszego faktu to sprytny pomysł zeby zamienić mało ciekawą alternatywę na sprawdzanie implikacji. To w dwa lata po teorii mnogości w koncu coś z niej już wiem: )

Korzystając z okazji, widzę że czesto piszesz \(\displaystyle{ \equiv}\). Jaka jest roznica w logice miedzy pisaniem \(\displaystyle{ \equiv}\) a \(\displaystyle{ }\)?
Tomasz Rużycki pisze:Co do drugiego pytania, chcemy pokazac, ze jesli \(\displaystyle{ a\in X_0}\), to \(\displaystyle{ [a]=X_0}\).
\(\displaystyle{ x\in [a]\equiv xRa\equiv x,a\in X_0\equiv x\in X_0}\).
hmm, czyli w tej chwili pokazałeś że klasa abstrakcji jakiegoś elementu a z \(\displaystyle{ X_i}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ X_i}\), jeszcze potrzebna inkluzja w drugą stronę... no i to już chyba będzie koniec moich pytań.
Ostatnio zmieniony 27 paź 2007, o 01:22 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 3 razy.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki »

W sumie zadna, zajrzyj do podrecznika Kuratowskiego np., tak tam oznacza rownowaznosc ;) A pisalem tak, bo \equiv jest troche krotsze niz \Rightleftarrow . ;-) Poza tym wydaje mi sie, ze przy sporym 'stezeniu' symboli logicznych poprawia to czytelnosc. ;)

Odnosnie pytania - wszystkie przejscia sa rownowazne, wiec masz inkluzje w druga strone.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis »

Uff, to pokonane zadanie.

Dziekuje za pomoc!
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz Rużycki pisze:A pisalem tak, bo \equiv jest troche krotsze niz \Rightleftarrow .
Spróbuj \iff ...

JK
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki »

Dziekuje bardzo.
ODPOWIEDZ